Математическая энциклопедия - квазидискретный спектр

термин эргодич. теории и топологич. динамики, употребляемый в оборотах: "динамическая система (поток, каскад или порождающее последний преобразование) имеет К. с. (или является системой, потоком и т. д. с К. с.)".

В эргодич. теории понятие "преобразование с К. с." фактически рассматривается только применительно к эргодич. автоморфизму Т Лебега пространства(X,m) (хотя приводимое ниже определение формально годится и в более общей ситуации). Для Тиндуктивно определяются квазисобственные функции (к. ф.) и квазисобственные значения (к. з.) га-го порядка. К. ф. 1-го порядка это обычные собственные функции соответствующего оператора сдвига

т. е. такие ненулевые fО L²(X,m), что f(Tx)=lf(x)(почти всюду; ниже подобная оговорка опускается), где lнекоторая константа (собственное значение; оно является к. з. 1-го порядка). Если и f(Tx) =j(x)f(x), где ф некоторая к. ф. n-го порядка, то f наз. к. ф. (n+1)-го порядка, а j соответствующим к. з. (того же порядка). (В [2] вместо к. ф. и к. з. говорится об обобщенных собственных функциях иобобщенных собственных значениях.) Из эргодичности Тследует, что |f(х)| = const для любой к. ф. f, а если f еще и к. з., то |f(x)| = 1. Поэтому часто в определение к. ф. включают условие нормировки |f (х)| = 1. Говорят, что Тимеет К. с, если к. ф. всевозможных порядков образуют полную систему в L²( Х,m). Законченные результаты относятся к тому случаю, когда в дополнение к сказанному Твполне эргодичен (т. е. все его степени эргодичны). Имеется полная метрическая классификация таких T и их свойства хорошо изучены [3]. Понятие К. с. и соответствующую теорию можно обобщить для локально компактных коммутативных групп преобразований пространств Лебега (в частности, для измеримых потоков)см. изложение результатов Т. Уитинга (Т. Wieting) в [4].

Хотя внешне термин "К. с." выглядит так, как если бы речь шла о нек-ром типе спектра динамич. системы, на самом деле свойство каскада {ГЩ} иметь К. с. не является спектральным, т. е. не может быть выражено в терминах спектральных свойств оператора сдвига UT. Даже если известно, что каскад имеет К. с, спектр еще не определяет однозначно его метрич. свойства. К. с. был введен именно в связи с первым примером метрически неизоморфных эргодич. каскадов с одинаковым спектром ([1], см. также [2]). В этом примере каскады имеют К. с, но у одного из них имеются к. ф. 3-го порядка, а у другого нет.

В топологич. динамике понятие К. с. вводится применительно к гомеоморфизму Ткомпакта X, предполагаемому вполне минимальным (т. е. каждая его степень минимальна). К. ф. и к. з. определяются аналогично предыдущему с заменой L²(X,m)на С(X)(непрерывные функции с комплексными значениями). Тимеет К. с, если к. ф. разделяют точки X. Топологич. вариант теории во многом аналогичен метрическому (см. [5] -[7]). Однако при переходе в топологич. теории от каскадов к потокам с К. с. требуются существенно иные соображения и даже в нек-рой степени приходится выходить за рамки обычных понятий топологич. динамики (оказывается целесообразным рассматривать потоки {Tt}с разрывной зависимостью гомеоморфизмов Tt от t)(см. [8], [9]).

Лит.:[1] Наlmоs P. R., Neumann J., "Ann. Math.", 1942, v. 43, № 2, p. 332-50; [2] Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, М., 1959; [3] Абрамов Л. М., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1962, т. 26, № 4, с. 51330; [4] Zimmer R. J., "III. J. Math.", 1976, v. 20, № 4, p. 555-88; [5] Hahn F., Parry W., "J. London Math. Soc", 1965. v. 40, №2, p. 309-23; [6] их же, "Math, systems theory", 1968, v. 2, № 2, p. 179-90; [7] Brown J. R., Ergodic theory and topological dynamics, N.Y.-S.F.-L., 1976; [8] Hahn F., "Israel J. Math.", 1973, v. 16, № 1, p. 20-37; [9] Parry W., там же, p. 38-45.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985