Математическая энциклопедия - квазиклассическое приближение

асимптотическое представление, асимптотика решений уравнений квантовой механики при (hпостоянная Планка). Уравнение Шрёдингера

описывает движение квантовомеханич. частицы в потенциальном поле V(x). Движение классич. частицы описывается уравнением Гамильтона Якоби

или системой Гамильтона

Задаче Коши для уравнения Шрёдингера

сопоставляется задача Коши для системы (3)

(здесь функции j, S0, Vгладкие, S0, Vдействительные, j финитна). Асимптотика решения y(t, x )при и при малых T>0 имеет вид:

здесь S(t, x)решение уравнения (2) с данными Коши S|t=0=S0(x)(классическое действие), а

где x=x(t, у), p=p(t, у) - решение задачи (3), (5). Функции jj при определяются из рекуррентной системы уравнений переноса (это обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль траекторий системы (3)), так что все члены асимптотики выражаются в терминах классич. механики. Принцип соответствия Бора утверждает: "Если hстремится к нулю, то квантовые законы должны переходить в законы классические". Метод отыскания асимптотики в виде (6) был предложен П. Дебаем (P. Debye) и широко применяется в квантовой механике.

Асимптотика решения задачи (1), (4) в большом (т. е. за любое конечное время) строится с помощью канонич. оператора В. П. Маслова [3]. Данные Коши (5) заполняют n-мерное лагранжево многообразие А" в фазовом пространстве Его сдвиги вдоль траекторий системы (3) также лагранжевы многообразия; их объединение есть (n+1)-мерное лагранжево многообразие в фазовом пространстве R²ⁿ⁺² с координатами (t, x, р 0, р). Для канонич. оператора отвечающего справедлива формула коммутации

где производная в силу системы (3), Lоператор Шрёдингера. Асимптотика решения y в большом дается формулой

где функции cj определяются из данных Коши (4) с помощью уравнений переноса и выражаются в терминах классич. механики. В нефокальной точке (t0, x⁰ )асимптотика имеет вид

где сумма берется по всем лучам, приходящим в эту точку, Sj и Jjдействие и якобиан для j-го луча, ljиндекс Морса j-го луча. Для стационарного уравнения Шрёдингера в К. п. исследованы задача о рассеянии, задача о поле точечного источника, получены квазиклассич. серии (типа бальмеровских) собственных значений.

Квазиклассическое приближение в широком смысле слова (синонимы: высокочастотная асимптотика, коротковолновое приближение, приближение геометрия, оптики, метод ВКБ, метод эйконала) асимптотика решений дифференциальных уравнений с частными производными с действительными характеристиками вида

а также систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Здесь большой параметр, символ L(x, p;e) слабо зависит от e. Уравнению (9) отвечают уравнения классич. механики уравнение Гамильтона Якоби

и система Гамильтона

где L⁰=L(x, р;0). К. п. строится с помощью канонич. оператора, отвечающего инвариантным относительно динамич. системы (10) лагранжевым многообразиям, и имеет вид, аналогичный (8).

К. п. широко применяется в современной физике, в задачах о распространении звуковых, упругих, электромагнитных волн, в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике и других вопросах.

Лит.:[1] Бриллюэн Л., Атом Бора, пер. с франц., Л.М., 1935; [2] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); [3] Маслов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965; [4] Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976; [5] Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, М., 1970; [6] Бабич В. М., Булдырев В. С, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [7] Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973.

М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985