Математическая энциклопедия - квазиконформное отображение

отображение с ограниченным искажением или ограниченным отклонением от конформного. Числовой характеристикой искажения при отображении f :в точке является коэффициент k(f, а )квазиконформности (или дилатация) отображения f в этой точке:

Величина наз. коэффициентом квазиконформности (или дилатацией) отображения f в области D. Сохраняющее ориентацию отображение f :наз. квазиконформным (или отображением с ограниченным искажение м), если оно наз. k-к вазиконформным, если Для конформного отображения k(f) = k(f, x)=1. Если f дифференцируемо в точке то линейное отображение f' (а)преобразует шар касательного пространства в эллипсоид, отношением наибольшей полуоси к-рого к наименьшей будет k(f, а). Наряду с данным определением часто используются следующие эквивалентные ему условия квазиконформности f в области (т. е. f имеет обобщенные производные, локально суммируемые в Dв степени п)и существует такое действительное число k, что

или

почти во всех точках

Термин "К. о.", как правило, предполагает гомеоморфность отображения. Негомеоморфные отображения с ограниченным искажением обычно наз. квазирегулярными. Теория К. о. областей в Rⁿ при п=2 и если не считать общих для них и, как правило, более простых вопросов, имеетярко выраженную специфику.

Двумерная теория. В этом случае дифференциал отображения в точке может быть записан в виде

С точностью до множителя он определяется соотношением

Функция m(z) наз. комплексной характеристикой отображения /в точке z; |m(z)|<1 для отображений с положительным якобианом J= |fz|²-|fz^-|². Для аналитич. отображений m(z)=0условия Коши Римана. Коэффициент k(f, z)квазиконформности отображения в точке выражается через m(z). в виде поэтому условие квазиконформности отображения f W¹2 в терминах комплексной характеристики есть

Обычно соотношение (1) появляется как уравнение относительно f при известной функции m; оно наз. уравнением (или системой) Бельтрами. Напр., задача конформного отображения одной области Dна другую D' есть задача отыскания гомеоморфизма f:удовлетворяющего в Dуравнению Бельтрами с

К решению общего уравнения (1) сводится, напр., классич. задача об одновременном во всей области Dприведении к канонич. виду заданной в Dположительно определенной квадратичной формы от двух переменных или, что то же самое, задача построения конформно евклидовых координат на двумерной поверхности (см. [2]).

Основной факт двумерной теории К. о., аналогичный Римана теореме для конформных отображений, состоит в следующем: для всякой измеримой в области функции m(z) такой, что найдется квазиконформный гомеоморфизм f области Dс комплексной характеристикой m(z);. общее решение уравнения (1) в области Dимеет вид Fof(z), где f построенный квазиконформный гомеоморфизм, a Fлюбая аналитич. функция.

Если Dединичный круг, то f можно выбрать так, что f(D)=D. Тогда f продолжается до гомеоморфизма замкнутого круга на себя и условия нормировки f(0)=0, f(1)=1 выделяют единственный гомеоморфизм/ : удовлетворяющий уравнению Бельтрами. Если, кроме того, 0<a<1, то где пространство функций, имеющих в D т непрерывных производных, причем последняя удовлетворяет в Dусловию Гёльдера с показателем a. Если последовательность fn нормированных квазиконформных автоморфизмов круга Dтакова, что и

при то

К. о. как гомеоморфные решения сильно эллиптических систем

так же естественно связаны с проблемами струйных течений дозвуковой газовой динамики, как конформные отображения, удовлетворяя системе Коши Римана, связаны с течением несжимаемой идеальной жидкости (см. [1], [5]).

Общая задача построения К. о. одной односвязной области на другую, удовлетворяющего системе (2), была поставлена и решена М. А. Лаврентьевым [1] одним из основателей теории К. о. В явном виде понятие К. о. появилось у X. Грётша (Н. Grotzsch, см. [3]) в связи со следующей экстремальной задачей (задачей Грётша): среди отображений с соответствием вершин квадрата на прямоугольник, не являющийся квадратом, найти наиболее близкое к конформному. Чтобы охарактеризовать меру этой близости, пришлось ввести коэффициент квазиконформности начальное понятие геометрич. теории К. о.

В двумерной теории К. о., как и в теории аналитич. функций, исследованы общие вопросы компактности нормальности семейства отображений; построена теория соответствия границ; показавшая, что это соответствие осуществляется по тем же простым концам в смысле Каратеодори (см. Граничные элементы), как и в конформном случае; изучены условия устранимости множества особенностей; разработаны вариационные принципы решения основных экстремальных задач на классе квазиконформных гомеоморфизмов (см. [4], [7]).

Важное применение в геометрич. теории функций двумерные К. о. получили в исследованиях по проблеме модулей римановых поверхностей в связи с Тайхмюллера пространством и деформацией клейновых групп (см.

Пространственная теория. Теория К. о. областей пространства также имеет свою специфику. Прежде всего это связано с отсутствием конформных отображений: по теореме Лиувилля всякое достаточно гладкое конформное отображение области является мёбиусовым, т. е. суперпозицией инверсий и вращений. Суть этого факта в том, что условия конформности отображения при в отличие от условий Коши Римана при n=2, составляют переопределенную систему уравнений с частными производными.