Математическая энциклопедия - ли алгебра аналитической группы

а л г е б р а Л и группы Л и G, определенной над полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, -алгебра Ли группы G, рассматриваемой как Ли локальная группа. Таким образом, как векторное пространство отождествляется с касательным пространством к G в точке е. Операция умножения [ , ] в алгебре Ли может быть определена любым из следующих эквивалентных способов,

1) Пусть ad дифференциал присоединенного представления группы G. Тогда ad X для любого вектора является линейным преобразованием пространства причем для любого

2) Пусть Xи два касательных вектора к G в точке е к х(t).и у(t) - гладкие кривые в G, для к-рых Xи Yявляются касательными векторами при t=0. Тогда [X, Y]есть касательный вектор при s=0 к кривой где a s²=t.

3) Пусть U(G) - ассоциативная k-алгебра обобщенных функций на Gс носителем в е и с умножением, определяемым сверткой*. Пространство отождествляется с множеством примитивных элементов в биалгеб-ре U(G).и для любых X, вектор . также лежит в Тогда X*Y-Y*X=[X, Y].

4) Пусть векторное пространство всех векторных полей на G, инвариантных относительно левых сдвигов на элементы из G. Сопоставление векторному полю его значения в точке является изоморфизмом векторных пространств и С другой стороны, всякому векторному полю сопоставляется левоинва-риантное дифференцирование k-алгебры Ааналитич. функций на G по формуле для любых и это сопоставление является изоморфизмом пространства с векторным пространством Dвсех левоинвариантных дифференцирований алгебры А. Для любого через обозначается лево-инвариантное векторное поле, для к-рого (LX)e=X. Если X, то произведение [X, Y]может быть определено как такой вектор из что поле L[X,Y] задает дифференцирование алгебры А.

Пример. Пусть G аналитич. руппа всех невырожденных матриц порядка п с коэффициентами в k. Тогда касательное пространство к G в единице отождествляется с пространством всех матриц порядка пскоэффициентами в k, а структура алгебры Ли на определяется формулой [X, Y]=XY-YX.