Математическая энциклопедия - непрерывности теорема

принцип непрерывности: пусть Gголоморфности область в любые последовательности множеств, для к-рых имеет место принцип максимума относительно модулей функции f, голоморфной в G, т. е.

тогда если сходятся к нек-рому ограниченному множеству S, а к множеству . Если в качестве взять аналитич. иперповерхности и в качестве их границы , то получают теорему Беенке Зоммера (см. [1]). Отсюда следует, что всякая область голоморфности псевдовыпук-ла. Применительно к конкретной функции нек-рые модификации Н. т. известны как теоремы о "диске". Напр., т. н. сильная теорема о "диске" утверждает следующее. Пусть в задана жорданова кривая вида

Пусть семейство областей в плоскости , обладающее тем свойством, что для любого компакта найдется число , для к-рого при всех . Тогда если голоморфна в точках "дисков"

и в одной точке предельного "диска"

то голоморфна и во всех точках предельного "диска". Теоремы о "диске" весьма полезны при голоморфном расширении областей п при построении голоморфности оболочек, напр, при доказательстве теоремы Бохнера об оболочке голоморфности трубчатой области, при доказательстве теорем Осгуда Брауна, "о вложенном ребре", "об острие клина", "о С-выпуклой оболочке" и др.

Лит.:[1] Веhnke Н., Thullen P., Theorie der Punktionen melirerer komplexer Veranderlichen, В., 1934; [2] Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976.

В. С. Владимиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985