Математическая энциклопедия - неприводимый многочлен

многочлен от ппеременных над полем к, являющийся простым элементом кольца т. е. непредставимый в виде произведения , где gи hмногочлены с коэффициентами из k, отличные от константы (неприводимость над k). Многочлен наз. абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраич. замыканием поля коэффициентов. Абсолютно Н. м. одной переменной это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно Н. м. сколь угодно высокой степени, напр, любой многочлен вида абсолютно неприводим.

Кольцо многочленов факториально:

любой многочлен разлагается в произведение Н. м., причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей. Над полем действительных чисел любой Н. м. одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Над любым полем алгебраич. чисел существуют Н. м. сколь угодно высокой степени; напр., многочлен , где и нек-рое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна (см. Алгебраическое уравнение).

Пусть Ацелозамкнутое кольцо с полем частных кп многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1. Если в , причем g(x)и h(х)имеют старший коэффициент 1, то

Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области В, то не существует разложения где и отличны от константы. Напр., многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в (и, следовательно, неприводим в ), если для нек-рого простого р неприводим многочлен , полученный из f(х)редукцией коэффициентов по модулю р.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1-2, М., 1963.

Л. В. Кузьмин,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985