Математическая энциклопедия - неприводимый модуль

простой модуль,ненулевой унитарный модуль Мнад кольцом Д с единицей, содержащий лишь два подмодуля нулевой и сам М.

Примеры: 1) если кольцо целых чисел, то неприводимые R-модули это абелевы группы простого порядка; 2) если Rтело, то неприводимые R-модули это одномерные векторные пространства над R; 3) если Dтело, Vлевое векторное пространство над D,кольцо линейных преобразований пространства V-(или плотное подкольцо этого кольца), то правый R-модуль неприводим; 4) если Gгруппа, kполе, то неприводимые представления группы Gнад kэто в точности Н. м. над групповой алгеброй kG.

Правый R-модуль Мнеприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен R/I, где I нек-рый максимальный правый идеал в R. Если А, Bнеприводимые Д-модули, то либо f=0, либо f изоморфизм (откуда следует, что кольцо эндоморфизмов Н. м. является телом). Если же R алгебра над алгебраически замкнутым полем k, А и ВН. м. над R, то (лемма Шура)

Понятие Н. м. является одним из основных в теории колец и теории представлений групп. С его помощью определяются композиционный ряд и цоколь модуля, Джекобсона радикал модуля и кольца, вполне приводимый модуль. Н. м. участвуют в определении ряда важных классов колец: классически полупростых колец, примитивных колец и др.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Картис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. сангл., М., 1969; [3]. Лам бек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [4] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79.

А. В. Михалев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985