Математическая энциклопедия - непредикативное определение

определение, осмысленность к-рого предполагает наличие определяемого объекта.

Образование множества всех множеств непредикативно. Определение наименьшей верхней грани произвольного множества действительных чисел также непредикативно. Любое Н. о. можно рассматривать как свойство, выделяющее нужный объект из нек-рой заданной совокупности. Так как при этом остается проблема существования выделяемого объекта, то вместо Н. о. можно говорить о непредикативных свойствах. Если фиксирован язык, на к-ром выражаются свойства, то понятие непредикативности уточняется следующим образом. Свойство (точнее, языковое выражение, выражающее это свойство) наз. непредикативным, если оно содержит связанную переменную, в область изменения к-рой попадает определяемый объект. Свойство наз. предикативным, если оно не содержит таких связанных переменных.

Понятие непредикативности возникло в связи с обнаружением теоретико-множественных парадоксов, а сам термин принадлежит А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1906), впервые выдвинувшему возражения против Н. о.

Обнаруженные в начале 20 в. антиномии содержат непредикативность. Напр., в парадоксе Рассела множество Rвсех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, определяется формулой:

где хпеременная, пробегающая все множества. В этой формуле Rявляется возможным значением переменной х. В математике Н. о. широко распространены. Напр., объединение Sвсех множеств натурального ряда, удовлетворяющих условию j, задается формулой

где ппеременная по натуральному ряду, Мпеременная по подмножествам натурального ряда. В приведенной формуле Sявляется возможным значением связанной переменной М. Непредикативный способ задания объекта часто удается заменить предикативным. Напр., если в качестве свойства взять формулу где Аи Внекоторые фиксированные множества, то формула (*) эквивалентна предикативной формуле

выражающей, что Sесть объединение множеств Аи В. Б. Рассел (В. Russell) предпринял попытку построения математики на предикативной основе. В его разветвленной теории типов множества выстраиваются в иерархию, в соответствии с определяющими их выражениями. Напр., множество Sиз формулы (*) должно относиться к более высокому уровню в иерархии, чем уровень переменной Ми уровни переменных, содержащихся в формуле ф. На предикативной основе не удается построить анализ в полном объеме. Приходится снабжать формулировки оговорками об уровнях рассматриваемых объектов. Б. Рассел был вынужден ввести аксиому сводимости, стирающую фактически различие между уровнями. Однако предикативная теория при наличии арифметич. аксиом позволяет строить анализ, достаточный для многих приложений (см. [4]). Феномен непредикативности существенно основан на абсолютном характере понимания слова "все" (все без каких-либо ограничений, решительно все). Распределение множеств по уровням представляет собой попытку ограничить этот абсолютный характер. Наиболее радикальная ревизия способа мышления, основанного на абсолютном понимании понятия "все", предпринимается интуиционистским и конструктивным направлениями в математике.

Лит.:[1] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1960; [2] Френкель А.А., Бар Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [3] Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; [4] Takeuti G., Two applications of logic to mathematics, Tokyo, 1978.

В. H. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985