Математическая энциклопедия - непрерывный оператор

непрерывное отображение Амножества Мтопологического и, как правило, векторного пространства Xв такое же пространство , а именно: 1) отображение непрерывно в точке , если для любой окрестности точки найдется окрестность точки х 0 такая, что ; 2) отображение непрерывно на множестве М, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Для того чтобы оператор был непрерывен на М, необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого (замкнутого) множества полный прообраз был следом на Моткрытого (замкнутого) множества в X, т. е. где Gоткрыто (замкнуто) в X. Для Н. о. справедливо цепное правило: пусть и Анепрерывно на М(в точке ), а и Внепрерывно на N(в точке ); если непусто ( у о=Ах о), то непрерывно на Q(в точке х а ).

В случае, когда Xи Y топологические векторные пространства, и Алинейный Н. о. на линейном подмногообразии со значениями в Y, то из непрерывности Ав любой точке L, напр, в нуле, следует непрерывность Ана всем L. Непрерывный на многообразии Lтопологического векторного пространства Xоператор ограничен на этом множестве, т. е. образ любого ограниченного подмножества есть ограниченное множество в Y. Если X и Y отделимы, то из компактности N следует компактность

Оператор Аравномерно непрерывен на М, если для любой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что из следует . Оператор линейный и непрерывный на линейном многообразии топологического векторного пространства автоматически равномерно непрерывен на этом многообразии.

Помимо непрерывности вводится понятие счетной непрерывности оператора. Оператор счетно непрерывен в точке , если для любой последовательности имеет место Для случая метризуемых пространств понятия счетной непрерывности и непрерывности совпадают.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977.

И. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985