Математическая энциклопедия - непрерывные аналоги итерационных методов

непрерывные модели, позволяющие исследовать вопросы существования решений нелинейных уравнений, проводить с помощью развитого аппарата непрерывного анализа предварительные исследования сходимости и оптимальности итерационных методов, получать новые классы итерационных методов.

Можно установить соответствие между методами решения стационарных задач путем установления (см. Установления метод )и нек-рыми итерационными методами (см. [1], [2]). Напр., для решения линейного уравнения с положительно определенным самосопряженным оператором Аизвестны сходящиеся при достаточно малых двучленные итерационные методы вида

Если ввести непрерывное время t, а величины рассматривать как значение нек-рой функции при , где

если положить где непрерывная функция при , то при переходе к пределу в (2) при получают Н. а. и. м. (2):

И если

при стремится к решению уравнения (1).

Двучленным градиентным итерационным методам минимизации функции F(u):

аналогичным образом можно сопоставить Н. а. и. м. вида

Здесь функция влияет лишь на параметризацию линии наискорейшего спуска. Для решения уравнения (1) можно взять тогда формулы (4) примут вид (2), а уравнение (5) вид (3). Трехчленные итерационные методы:

с помощью преобразований можно записать в виде

где величины определяются (неоднозначно) по параметрам метода (6). Переход в (7) к пределу при приводит к Н. а. и. м. вида

Метод установления с использованием уравнения типа (8) носит название метода тяжелого шарика (см. [2]). Существуют итерационные методы, для к-рых Н. а. и. м. содержат дифференциальные операторы более высоких порядков (см. [3]).

Источником получения дифференциальных уравнений, играющих роль Н. а. и. м., может быть метод продолжения по параметру (см. [4], [5]). В этом методе для нахождения решения уравнения

строят уравнение

зависящее от параметра и такое, что при решение известно:, а при решения уравнений (9), (10) совпадают. Напр., можно взять

Дифференцируя уравнение (10) по параметру и считая , , получают дифференциальное уравнение для ; оно для случая (11) примет вид

Разбивая отрезок [0, 1] на пчастей точками и применяя к уравнению (12) одну из формул численного интегрирования по точкам (метод Эйлера, Рунге Кутта и т. п.), получают рекуррентные соотношения между величинами , к-рые используют для построения формул итерационного метода. Так, после применения метода Эйлера уравнение (12) заменится соотношениями

где к-рые определяют следующий двуступенчатый итерационный метод, содержащий внутренний п внешний циклы итераций:

При этот метод превращается в классич.

метод Ньютона. Н. а. и. м. Ньютона может быть получен и другим путем: в формуле (11) заменяется переменная Тогда дифференциальное уравнение (12) принимает вид

Численное интегрирование уравнения (15) методом Эйлера по точкам tk приводит к итерационному методу

совпадающему при с классич. методом Ньютона.

Н. а. и. м. решения краевых задач для дифференциальных уравнений математич. физики являются, как правило, смешанными задачами для уравнений с частными производными специального вида (напр., с быстро осциллирующими коэффициентами или с малыми коэффициентами при старших производных).

См. также ст. Замыкание вычислительного алгоритма.

Лит.:[1] Гавурин М. К., "Изв. ВУЗов. Математика", 1958, № 5(6), с. 18-31; [2] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., т. 1, М., 1975; [3] Марчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, М., 1971; [4] Ортега Д., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [5] Давиденко Д. Ф., "Ж. вычисл. матем. и иатем. физ.", 1975, т. 15, .№ 1, с. 30-47.

В. И. Лебедев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985