Математическая энциклопедия - непрерывное разбиение

топологического пространствах покрытие пространства Xпопарно непересекающимися непустыми множествами, удовлетворяющее условию: каковы бы ни были и окрестность Uмножества Fв X, найдется окрестность Vмножества Fв X, содержащаяся в Uи являющаяся объединением нек-рого множества элементов семейства . Разбиение непрерывно в том и только в том случае, если отвечающее ему факторное отображение пространства Xна пространство этого разбиения замкнуто. Непрерывное отображение пространства Xна пространство Yзамкнуто в том и только в том случае, если разбиение пространства Xнепрерывно.

Н. р. часто встречаются в теории бикомпактных пространств. Каждое непрерывное отображение бикомпактного пространства на хаусдорфово пространство замкнуто. Поэтому каждое непрерывное отображение бикомпактного пространства Xна хаусдорфово пространство Yпорождает Н. р. пространства Xна прообразы точек. По той же причине для непрерывности разбиения бикомпакта достаточно (и необходимо), чтобы пространство этого разбиения удовлетворяло аксиоме отделимости Хаусдорфа. Достоинством Н. р. пространства на замкнутые множества является сохранение такими разбиениями нормальности и паракомпактности. Напротив, пространство Н. р. метризуемого пространства может быть не метризуемо. Простейший пример такой ситуации пространство разбиения плоскости, единственный нетривиальный элемент к-рого фиксированная прямая.

Как и вообще разбиения, Н. р. служат важным средством построения новых топологич. пространств из уже имеющихся, а также представления более сложных топологич. пространств в виде пространств Н. р. более простых или более стандартных пространств. Так, всякий метрпзуемый бикомпакт является пространством Н. р. канторова множества. Каждый локально связный связный метризуемый бикомпакт можно представить как пространство Н. р. отрезка. Н. р. естественным образом входят в нек-рые конкретные конструкции; так, напр., проективная плоскость, рассматриваемая как топологич. пространство, является пространством Н. р. обычной сферы на пары диаметрально противоположных точек. Аналогично, n-мерное проективное пространство с топологич. точки зрения является пространством Н. р. n-мерной сферы, лежащей в (n+1)-мерном евклидовом пространстве, на пары диаметрально противоположных точек. На этом языке, как пространство нек-рого Н. р. прямоугольника, аккуратно определяется лист Мёбиуса и строятся другие геометрия, объекты.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 1974.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985