Математическая энциклопедия - непрерывных функций пространство

нормированное пространство ограниченных непрерывных на топологич. пространстве Xфункций с нормой . Сходимость последовательности в пространстве С(X)означает равномерную сходимость. Пространство С(Х). является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Если Xбикомпакт, то всякая непрерывная на нем функция ограничена и, следовательно, пространство С(Х)совпадает с пространством всех непрерывных на Xфункций.

В случае, когда Х=[ а, b]отрезок действительных чисел, пространство С(X)обозначается С[ а, b]. Множество всех целых неотрицательных степеней образует согласно Вейерштрасса теореме о приближении непрерывных функций многочленами полную систему в пространстве С[a, b](это означает, что множество линейных комбинаций указанных степеней, т. е. многочлены, образует в С[a, b]всюду плотное множество), следовательно, пространство С[a, b]сепарабельно. В пространстве С [a, b]существует базис, напр. Фабера Шаудера система функций образует базис в пространстве С[0, 1]. Критерий компактности в пространстве С[a, b]дается соответствующей теоремой Арцела: для того чтобы нек-рое семейство функций было компактным относительно пространства С[a, b], необходимой достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Этот критерий обобщается на случай метрич. пространства С( Х, Y) непрерывных отображений метрич. компакта Xв метрич. компакт Y. Для компактности замкнутого подмножества Апространства С(X, Y) необходимо и достаточно, чтобы входящие в Аотображения были равностепенно непрерывны. Расстояние между отображениями f и gиз пространства С( Х, Y) задается формулой

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985