Математическая энциклопедия - переменных направлений метод

итерационный метод решения систем линейных или нелинейных уравнений, возникающих в разностных или проекционно-разностных методах при приближенном решении, напр., краевых задач для уравнений с частными производными эллиптич. типа.

Пусть, напр., имеются две пространственные переменные и последовательности квадратных сеток wh с шагом h>0 и узлами , где вектор с целочисленными компонентами. Пусть Wh множество узлов wh, в к-рых ищется решение разностной или проекционно-разностной задачи, записанной в виде операторного уравнения

в евклидовом пространстве Н h, отождествляемом с пространством функций, заданных в узлах Wh; размерность Hh совпадает с числом точек Nh, из Wh.

Пусть

(1)

линейные операторы, отображающие Hh в Н h,. Среди операторов (1) имеются операторы, у к-рых ненулевые коэффициенты ai, j в (1) соответствуют лишь векторам сдвига ' с j2=0. Такие операторы наз. одномерными операторами, действующими по X), и обозначаются ; аналогично для векторов сдвига с j1=0 определяются и одномерные операторы , действующие по х 2. Системы уравнений

расщепляются на отдельные подсистемы, каждая из к-рых связывает лишь значения в узлах, лежащих на отдельных горизонтальных (для ) или вертикальных (для ) линиях сетки. Для П. н. м. характерно использование расщепляющихся операторов Ah, имеющих вид

Решение системы

(2)

тогда сводится к последовательному решению двух систем

(3)

(4)

в к-рых вначале решаются отдельные подсистемы на горизонтальных линиях сетки (в случае (3)), а затем осуществляется перемена направлений и решаются подсистемы на вертикальных линиях сетки (в случае (4)). При этом обычно операторы Rh выбираются такими, что на решение систем (3), (4), а следовательно, и (2), уходит только O(Nh).арифметич. действий. Поэтому и каждая итерация в П. н. м. вида

(5)

где верхний индекс псоответствует номеру итерации, обычно осуществляется с затратой O(Nh).арифметич. действий.

Наиболее эффективные результаты для П. н. м. получаются для т. н. коммутативного случая, когда оператор Lh является самосопряженным положительно определенным оператором, а операторы самосопряженные и перестановочные с Lh. В этом случае для любого e>0 погрешность начального приближения можно уменьшить по норме в e^-1 раз за число итераций M=0(lne||lnh||). Коммутативный случай может встретиться только для краевых задач, в к-рых можно произвести разделение переменных, и, следовательно, область должна быть прямоугольником. Наиболее частым случаем метода (5) для уравнения

является метод

где Е h - тождественный оператор.

Наряду с подходом, в к-ром за счет выбора итерационных параметров стремятся минимизировать норму оператора перехода от нулевой итерации к итерации с фиксированным номером, используются и подходы, основанные на различных вариационных принципах.

П. н. м. часто используется в качестве внутреннего итерационного процесса в двухступенчатых итерационных методах, использующих операторы, эквивалентные по спектру и пригодные в случае переменных коэффициентов и нелинейных задач.

Лит.:[1] Реасеman D. W., Rachford Н. Н., "J. Soc. Industr. Appl. Math.", 1955, v. 3, № 1, p. 28-41; [2] Дьяконов Е. Г., Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнении эллиптического типа, К., 1970; [3] Яненко Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [4] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [5] Mapчук Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980. Е. Г. Дьяконов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985