Математическая энциклопедия - полиномиальное распределение

мультиномиальное распределение, совместное распределение случайных величин Xi, . . ., Xk, к-рое задается для любого набора целых неотрицательных чисел л 1; . . ., nk, удовлетворяющих условию n1+. . . + nk=n, kj=0, 1, . . ., п, j=1, . . ., k, формулой

(*)

где параметры распределения. П. р. является "многомерным дискретным распределением распределением случайного вектора (X1, . . ., Xk) с Х 1+. . .+Xk=n (это распределение является iio существу (k-1)-мерным, т. к. в евклидовом пространстве kизмерений оно вырождено). П. р. естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при k=2. Название распределения объясняется тем, что вероятность (*) является общим членом разложения многочлена (полинома) (p1+. . .+pk)ⁿП. р. появляется в следующей вероятностной схеме. Каждая из случайных величин Х i есть число появлений одного из взаимоисключающих событий Aj, j = 1, . . ., k, при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события Aj равна Pj, j=1, . . ., k, то вероятность (*) равна вероятности того, что при писпытаниях события A1 ,. . ., Ak появятся n1, . . ., nk, раз соответственно. Каждая из случайных величин Х j- имеет биномиальное распределение с математик, ожиданием npj и дисперсией npj(1-pj).

Случайный вектор (X1, . . ., Х k).имеет математич. ожидание (np1 ,. . ., пр k).и ковариационную матрицу В= ||bij||, где

(ранг матрицы B равен k-1 в силу того, что). n

Характеристич. функция П. р. равна

При распределение вектора (Y1, . . ., Yk).с нормированными компонентами

стремится к нек-рому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы

(к-рая используется в математич. статистике для построения " хи-квадрат" критерия).стремится к чхи-квадрат" распределению с k-1 степенями свободы.

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985