Математическая энциклопедия - полная аналитическая функция

совокупность всех элементов аналитич. ции, получающихся при всевозможных аналитических продолжениях исходной аналитич. ции f=f(z) комплексного переменного z, заданной первоначально в нек-рой области Dрасширенной комплексной плоскости

Пара (D, f), состоящая из области и заданной в Dоднозначной аналитической, или голоморфной, функции f, наз. элементом аналитической функции, аналитическим элементом, или, короче, просто элементом. Всегда возможно, в частности, при задании аналитич. ции пользоваться вейерштрассовым, или регулярным, элементом (U(a, R), f а), состоящим при из степенного ряда

(1)

и круга сходимости этого ряда с центром аи радиусом сходимости R>0. В случае вейерштрассов элемент состоит из ряда

(2)

и области сходимости этого ряда U(, R) ={z:|z|>R}, R0.

Пусть Е f - множество всех тех точек , в к-рые исходный элемент (U(a, R), fa) аналитически продолжается хотя бы по одному пути, связывающему в точки aи z. Следует иметь в виду возможность такой ситуации, когда в точку аналитич. родолжение возможно вдоль нек-рого класса путей L1 и невозможно вдоль другого класса путей L2 (см. Особая точка аналитич. функции). Множество Ef есть область плоскости . Полной аналитической функцией (в смысле Вейерштрасса) fW, порожденной элементом (U(a, R), fa), называется совокупность всех вейерштрассовых элементов , получаемых при этом аналитич. родолжении вдоль всевозможных путей . Область Е f наз. (вейерштрассовой) областью существования П. а. ф. fw. Применяя элементы общего вида (D,f), вместо вейерштрассовых на самом деле получают ту же самую П. а. ф. fW. Элементы (D, f) П. а. ф. fWчасто наз. ветвями аналитической функции fW. Любой элемент (D, f) П. а. ф..fW будучи взят за исходный при аналитич. родолжении, приводит к той же самой П. а. ф. fw. Каждый элемент (U(z, R), fz) П. а. ф. fw может быть получен из любого другого ее элемента (U(a, R), f а) посредством аналитич. родолжения вдоль нек-рого пути, связывающего в точки аи z.

Может оказаться, что исходный элемент (D, f) не допускает аналитич. родолжения ни в одну точку . В этом случае D = Ef является естественной областью существования, или областью голоморфности, функции f, а ее граница Г= дD - естественной границей функции f. Напр., для вейерштрассова элемента

естественной границей является окружность Г={z:|z|=1} его круга сходимости U(0, 1), т. к. этот элемент нельзя продолжить аналитически ни в одну точку z такую, что |z|1. Какова бы ни была область , можно построить аналитич. цию fD(z), для к-рой Dесть естественная область существования fD(z), а ее граница Y=дD - естественная граница fD(z) (это следует, напр., из Миттаг-Леффлера теоремы).

П. а. ф. fW в своей области существования Ef, вообще говоря, не является функцией точки в обычном смысле этого слова. Часто встречающаяся в теории аналитич. ций ситуация такова, что П. а. ф. fW есть многозначная функция: для каждой точки существует, вообще говоря, бесконечное множество элементов (U(z, R), fz ) с центром в этой точке. Однако это множество не более чем счетное (теорема Пуанкаре Вольтерра). В целом П. а. ф. fW можно рассматривать как однозначную аналитич. цию только на соответствующей рима-новой поверхности, являющейся многолистной накрывающей поверхностью над . Напр., П. а. ф. f(z)=Ln z= ln |z| + i Arg z многозначна в своей области существования Е f={:0<|z|<oo}; в каждой точке она принимает счетное множество значений

и каждой точке соответствует счетное множество элементов

с центром z. Обычно используется однозначная ветвь этой П. а. ф.главное значение логарифма ln z= = ln |z| + i arg z, являющееся голоморфной функцией в области D={:0<|z|<, -p<argz<p}, непрерывно продолжаемой на множество {: 0<|z|<oo, -p<arg gp}.

При обращении (см. Обращение ряда).вейерштрассовых элементов (1), (2) возникают элементы более общей природы, определяемые соответственно рядами Пюизё:

(3)