Математическая энциклопедия - полное пространство

термин, относящийся к метрическому пространству, равномерному пространству, топологическому пространству, близости пространству, пространству топологической группы, пространству с симметрикой, псевдометрическому пространству;возможны употребления этого термина и в других ситуациях. Все определения полноты основаны на одной общей идее, конкретное воплощение к-рой зависит от рассматриваемого типа пространств. Общее в определениях полноты состоит в требовании сходимости достаточно широкого класса последовательностей, направленностей или центрированных систем.

Метрич. пространство наз. полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем сходится. В этом же смысле понимается полнота псевдометрич. пространства и пространства с симметрикой. Равномерное пространство наз. полным, если для каждой центрированной системы множеств в нем, содержащей сколь угодно мелкие по отношению к покрытиям из данной равномерной структуры множества, пересечение элементов этой системы не пусто. На топологич. группе есть естественные правая и левая равномерные структуры. Если пространство группы в одной из этих равномерных структур полно, то оно полно и в другой, и топологич. группа наз. тогда полной по Вейлю. Полнота по отношению к двусторонней равномерной структуре на группе, получаемой структурным объединением ее правой и левой структур, наз. полной по Райкову. Полнота метрич. пространства и полнота по Райкову могут быть истолкованы как абсолютная замкнутость по отношению к любым представлениям данного пространства, как подпространства пространства того же типа. В частности, метрич. пространство полно в том и только в том случае, если оно замкнуто в любом объемлющем его метрич. пространстве. Топологич. группа полна но Райкову, если и только если она замкнута в любой топологич. группе, содержащей ее в качестве топологии, подгруппы. Это связано с фундаментальной конструкцией пополнения: каждому метрич. пространству канонич. образом сопоставляется его пополнение полное метрич. пространство, содержащее исходное пространство в качестве всюду плотного подпространства. Аналогично, каждая топологич. группа пополняема по Райкову, но не каждая топологич. группа пополняема по Вейлю.

Для топологич. пространств требование абсолютной замкнутости т. е. замкнутости в любом объемлющем пространстве,приводит, если ограничиться классом вполне регулярных хаусдорфовых пространств, к бикомпактным пространствам: такие и только такие пространства обладают этим свойством. Однако есть другой полезный и естественный подход к определению полноты топологич. пространства. Вполне регулярное хаусдорфово пространство наз. полным по Чеху, если оно представимо в виде пересечения счетного семейства открытых множеств в нек-ром своем бикомпактном хаусдорфовом расширении. Все такие пространства обладают свойством Бэра: пересечение счетного семейства непустых открытых всюду плотных множеств в них всегда не пусто. Метризуемое пространство полно по Чеху в том и только в том случае, если оно метризуемо полной метрикой (теорема Александрова Xаусдорфа). Полнота по Чеху обеспечивает правильное поведение топологич. пространства во многих существенных отношениях. Так, полное по Чеху счетное пространство имеет счетную базу и метризуемо. Паракомпактность сохраняется при операции произведения, когда пространства полны по Чеху. Полнота по Чеху сохраняется совершенными отображениями, а в классе метризуемых пространств она сохраняется в сторону образа открытыми непрерывными отображениями.

Другой полезный подход к определению полноты вполне регулярного хаусдорфова пространства связан с рассмотрением максимальной равномерной структуры на нем: если такое равномерное пространство полно, то топологич. пространство наз. полным по Дьёдонне. Полны по Дьёдонне в точности те пространства, к-рые гомеоморфны замкнутым подпространствам топологич. произведений метризуемых пространств. В присутствии полноты по Дьёдонне в одно свойство сливаются псевдокомпактность, счетная компактность и бикомпактность. Все параком-пакты полны по Дьёдонне, в частности полны по Дьёдонне все метрич. пространства. Отсюда видно, что из полноты по Дьёдонне не следует наличие у пространства свойства Бэра. Специальный случай полноты по Дьёдонне полнота топологич. пространства в смысле Хьюитта, означающая гомеоморфность пространства замкнутому подпространству топологич. произведения нек-рого семейства действительных прямых.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985