Математическая энциклопедия - положительно определенная форма

выражение вида

где aik=aki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x1, х 2, . . ., х n и обращающееся в нуль лишь при xl=x2=. . . = х п=0. Т. о., П. о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П. о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду

Для того чтобы форма

была П. о. ф., необходимо и достаточно, чтобы

, где

В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П. о. ф. от координат точки.

Форма

такая, что и для всех значений x1, х 2, . .., х п и f=0 лишь при x1=x2=. . .=xn=0 наз. эрмитовой П. о. ф.

С понятием П. о. ф. связаны также понятия: 1) положительно определенной матрицы такой матрицы, что есть эрмитова П. о. ф.; 2) положительно определенного ядра - такой функции К( х, у) = К( у, х), что

для любой функции j(х) с интегрируемым квадратом; 3) положительно определенной функции - такой функции f(x), что ядро К( х, y) = f(x-у).является положительно определенным. Класс непрерывных положительно определенных функций f(x) с f(0)=1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин. БСЭ-3

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985