Математическая энциклопедия - полунепрерывная функция

функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке , если

Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу (сверху) для всех . Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x0 функций есть П. ф. снизу (сверху) в х 0. Если и(х).и v(x).есть П. ф. соответственно снизу и сверху на Xи для всех имеет место , v(x)<+, то существует непрерывная на Xфункция f такая, что для всех . Если m - неотрицательная мера на , то для любой m-измеримой функции существуют две последовательности функций {un(x)} и {vn(x)}, удовлетворяющие условиям:

1) un(x) полунепрерывны снизу, vn (х).полунепрерывны сверху,

2) каждая функция и п (х). ограничена снизу, каждая функция vn(x).сверху,

3) последовательность {и n} невозрастающая, последовательность {vn} неубывающая,

4) для всех химеет место неравенство

5) m-почти всюду.

6) если для функция f суммируема, , то и

(теорема Витали Каратеодори).

Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985