Математическая энциклопедия - проективное мероопределение

введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к-рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса всех проективных преобразований таких преобразований, к-рые порождают в этих подмножествах группу преобразований, изоморфную соответствующей группе движений. Наличие движений позволяет "откладывать" отрезки от данной точки в данном направлении и тем самым ввести понятие длины отрезка.

Чтобы получить евклидово мероопределение в п- мерном проективном пространстве Р, выделяют в нем одну ( п-1)-мерную гиперплоскость p, называемую несобственной гиперплоскостью,, и устанавливают в этой гиперплоскости эллиптическое полярное соответствие П точек и ( п-2)-мерных гиперплоскостей (т. е. полярное соответствие, при к-ром никакая точка не принадлежит соответствующей ей ( п-2)-мерной плоскости).

Пусть Е п - подмножество проективного пространства Р, получающееся удалением из него несобственной гиперплоскости; X, Y, X', Y' - точки, принадлежащие Е n. Два отрезка XY и X'Y' наз. конгруэнтными, если существует проективное преобразование j, переводящее точки Xи Yсоответственно в точки X' и Y', при к-ром сохраняется поляритет П.

Определенное таким образом понятие конгруэнтности отрезков позволяет в Е n ввести метрику евклидова пространства. Для этого в проективном пространстве Рвводится система проективных координат с базисным симплексом ОА 1 А 2. . .А ,Д причем точка Оне принадлежит несобственной гиперплоскости p, а точки А 1, А 2, . .., А п принадлежат этой плоскости. Пусть точка Ов этой системе имеет координаты 0,0, . . .,0, 1, а точки А i, i=1, 2, . . ., п, имеют координаты

x1=0, x2=0, ...,xi-1=0, xi=1, xi+1=0,...,xn+1=0. Тогда эллиптическое полярное соответствие П, заданное в гиперплоскости я, может быть записано в виде

Матрица ||aij|| этого соответствия будет симметрической, а соответствующая ей квадратичная форма

положительно определенной. Пусть

две точки, принадлежащие Е n (то есть , ). Можно положить:

Тогда расстояние р между точками Xи Yопределяется соотношением

Для установления П. м. в n-мерном гиперболич. пространстве в n-мерном проективном пространстве Ррассматривается множество Uвнутренних точек действительной овальной гиперповерхности S2-го порядка. Пусть X, Y, X', Y' принадлежат множеству U, тогда отрезки XY и X'Y' считаются конгруэнтными, если существует проективное преобразование пространства Р, при к-ром гиперповерхность Sотображается на себя, переводящее точки Xи Yсоответственно в точки X' и Y. Введенное таким образом понятие конгруэнтности отрезков приводит к установлению во множестве Uметрики гиперболич. пространства. Длина отрезка в этой метрике определяется соотношением

где Ри Q - точки пересечения прямой XY с гиперповерхностью S, а с - положительное число, связанное с кривизной пространства Лобачевского.

Для введения в проективном пространстве Рэллиптич. метрики в этом пространстве рассматривается эллиптическое полярное соответствие П. Два отрезка XY и X'Y' наз. конгруэнтными, если существует проективное преобразование ф, переводящее точки Xи Yсоответственно в точки X' и Y', при к-ром сохраняется поляритет П (т. е. для любой точки Ми ее поляры тполярой точки j(M) будет j(m)). Если эллиптическое полярное соответствие П задано соотношениями

то матрица ( а ij) будет симметрической, а соответствующая ей квадратичная форма положительно определенной. Тогда если

то

где В - билинейная форма с матрицей || а ij||.

Во всех рассмотренных случаях (если дополнить действительное проективное пространство до комплексного проективного пространства) при проективных преобразованиях, определяющих конгруэнтность отрезков, т. е. движениях, остаются инвариантными нек-рые гиперповерхности 2-го порядка, наз. абсолютами. В случае евклидова мероопределения абсолютом будет мнимая ( п-2)-мерная овальная поверхность 2-го порядка, в случае гиперболич. мероопределения овальная ( п-1)-мерная действительная гиперповерхность 2-го порядка, в случае эллиптич. мероопределения мнимая (n-1 )-мерная овальная гиперповерхность 2-го порядка.

Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [2] Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд., М., 1963; [3] Буземан Г., Келли П. Д ж., Проективная геометрия и проективные метрики, пер. с англ., М., 1957. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985