Математическая энциклопедия - дифференциальное исчисление

на аналитических пространствах обобщение классич. исчисления дифференциальных форм и дифференциальных операторов на случай аналитич. ространств. Об исчислении дифференциальных форм на комплексных многообразиях см. Дифференциальная форма. Пусть аналитич. ространство над полем k,D.диагональ в XxX, J пучок идеалов, определяющий D и порожденный всеми ростками вида p1^*f-p2^*f, где f произвольный росток из pi:

Xx Х->Х - проекция на i-й сомножитель.

Аналитич. пучок p1(J/J²)=Qx наз. пучком аналитических дифференциальных форм первой степени на X. Если f росток аналитич. функции на X, то росток p1^*f-p2^*f, принадлежит J и определяет элемент df пучка W¹X, p1(J/J²), называемый дифференциалом ростка f. Тем самым определяется гомоморфизм пучков векторных пространств d :. Если Х=kⁿ, то W¹X свобод-

ный пучок, порожденный dxx, ... , dx п, где х 1, ..., х пкоординаты в kⁿ. Если Xаналитич. одпространство в kⁿ, определяемое пучком идеалов J, то

С каждым аналитич. отображением f: X->Y можно связать пучок относительных дифференциалов W¹X. Это аналитич. учок W¹X/Y, индуцирующий W¹Xs на каждом слое отображения f; он определяется из точной последовательности

Пучок наз. пучком ростков аналитических векторных полей на X. Если Xмногообразие, то и QX локально свободные пучки, естественно изоморфные пучкам ростков аналитич. сечений кокасательного и касательного расслоений над Xсоответственно.

Аналитич. пучки наз. пучками аналитических внешних дифференциальных форм степени рна X (при k= С их наз. также голоморфными формами). Для всякого определяется гомоморфизм пучков векторных пространств dp: совпадающий при р=0 с введенным выше и удовлетворяющий условию d^p+1d^P= 0. Комплекс пучков (W*X, d)наз. комплексом де Рама пространства X. Если Xмногообразие и k=С или R, то комплекс де Рама является точным комплексом пучков. Если X многообразие Штейна или вещественное аналитич. многообразие, то когомологии комплекса сечений Г(W^*X), часто также называемого комплексом де Рама, изоморфны Н ^Р( Х, к).

Если Xимеет особые точки, то комплекс де Рама не обязан быть точным. В случае, когда к = С, достаточным условием точности комплекса де Рама в точке хО Х является наличие у хкомплексно аналитически стягиваемой окрестности. Гипергомологии комплекса Г(W^*X) при k=С содержат когомологии пространства Xс коэффициентами в С в качестве прямого слагаемого и совпадают с ними, если Xгладко. Сечения пучка QX наз. аналитическими (а при k=С также голоморфными) векторными полями на X. Поле определяет для любого открытого дифференцирование алгебры ацалитич. функций действующее по формуле = Z(dj). Если к=С или R, то Zзадает локальную однопараметрич. группу expt Zавтоморфизмов пространства X. Если при этом Xкомпактно, то группа expt Zопределима глобально.

Пространство Г(Х, QX), снабженное скобкой Ли, является алгеброй Ли над к. Если Xкомпактное комплексное пространство, то Г( Х,QX)алгебра Ли группы Aut X.

Дифференциальные операторы на аналитич. ространстве (X,QX). определяются аналогично дифференциальным операторам модуля. Если F, Gаналитич. учки на Х, толинейным дифференциальным оператором порядка <l, действующим из Fв G, наз. гомоморфизм пучков векторных пространств продолжающийся до аналитич. омоморфизма Если Xгладко, a Fи Gлокально свободны, то это определение приводит к обычному понятию дифференциального оператора на векторном расслоении [3], [4].

Ростки линейных дифференциальных операторов образуют аналитич. учок Diff(F, G)с фильтрацией

где Diff^l(F, G)пучок ростков операторов порядка <1. В частности, фильтрованный пучок ассоциативных алгебр над котносительно композиции отображений. Имеем

Изучение пучка проведено (в негладком случае) лишь для нек-рых специальных типов особых точек. В частности, в случае неприводимого одномерного комплексного пространства Xдоказано, что пучок алгебр и соответствующий пучок градуированных алгебр допускают конечные системы образующих [5].

Лит.:[1] Malgrange В., "Enseign. math.", 1968, ser. 2, t. 14, № 1, p. 1-20; [2] Коup W., "Math. Ann.", 1965, Bd 160, № 1, S. 72-92; [3] Шварц Л., Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными, пер. с нем., М., 1964; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] Вlооm Т п., "Rice Univ. Stud.", 1973, v. 59, № 2, p. 13-19; [6] Веrger R., [u. a.], Differentialrechnung in der anaytilschen Geometrie, В.Hdlb.-N. Y., 1967; [7] Fisсher G., Complex analytic geometry. В.Hdlb.N. Y., 1976.

Д. А. Пономарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985