Математическая энциклопедия - конечных разностей исчисление

раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h - постоянная, кцелое). Тогда

(конечные) разности первого порядка,

разности второго порядка, ... ,

разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу:

Разность n-го порядка через величины у 0, у1,... выражается формулой:

Наряду с разностями вперед Dyk употребляются разности назад:

В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: к-рые определяются следующим образом:

Между центральными dⁿyl. и обычными разностями Dⁿyk имеется связь

В случае, когда промежутки х k+1- х k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности:

Имеет место формула

Иногда вместо [ х 0; х 1;... ; х п] употребляется обозначение f(x0; х 1; ...; х п). Если xn=x0+nh, n=0, 1, 2, ... , то

Если функция f(x)в интервале xk<х<xk+n имеет n-ю производную fⁿ (х), то

К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х 0, х 1, . .., х п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид:

а в случае равноотстоящих значений независимого переменного:

Функцию f(х)принимают приближенно равной Р п{х). Если f(x)имеет n+1 производную, то ошибка от замены f(x)на Р п (х)оценивается соотношением

где x, лежит в интервале, в к-ром находятся точки х, х 0, ... , хД. В случае, если f(x)многочлен степени

то f(x) = Pn(x). При неограниченном увеличении числа узлов интерполяции многочлен Р п (х)становится в пределе многочленом Р(х)"бесконечной" степени и естественно возникает вопрос: когда f(x)-P(x), т. е. когда будет выполняться равенство

(для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов). Пусть х 0=0, h=i, так что xn=n(n>0). Если ряд (1) сходится в точке а, отличной от узлов (ряд (1) всегда сходится в узлах х 0, x1 . ..), то он сходится в полуплоскости Re x>a и представляет собой в этой полуплоскости аналитич. функцию, к-рая в полуплоскости удовлетворяет условию (e>0):

Обратно, если f(x)аналитична в нек-рой полуплоскости и имеет оценку роста, подобную указанной (несколько лучше ее), то она представляется рядом (1). Таким образом, в ряд (1) (так наз. ряд Ньютона) разлагаются функции из весьма узкого класса (только аналитич. функции с определенным ростом). Изучаются ряды Ньютона, когда узлы вообще комплексные числа. Такие ряды нашли большое применение в теории трансцендентных чисел. Пусть теперь узлы интерполяции образуют треугольную матрицу

и интерполяционный многочлен Р п (х)строится по узлам, расположенным в (n+1)-й строчке. Класе функций, для к-рых Р п (х)стремится к f(x)при зависит от матрицы узлов. Напр., в случае, когда

(x п, kкорни Чебышева многочлена), для сходимости интерполяционного процесса на отрезке [ -1,1] достаточно выполнения условия

где w(d) непрерывности модуль f (х)на [ -1,1].

Другая важная задача К. р. и задача суммирования функций. Пусть дана нек-рая функция f(x). Требуется найти в конечном виде, точно или приближенно, сумму

при фиксированных х 0 и hи большом п, если известны нек-рые аналитич. свойства f(x). Иначе говоря, исследуется асимптотич. поведение Sn при Пусть х 0=0, h=i (для простоты) и найдена функция F(x)такая, что

Тогда

Напр., пусть f(x)=x². Решение уравнения (2) ищется в виде многочлена третьей степени

с неопределенными коэффициентами. При подстановке в уравнение (2) и приравнивании коэффициентов левой и правой частей при соответствующих степенях многочлен имеет вид:

и

Не всегда удается в конечном виде получить решение уравнения (2). Поэтому полезно иметь приближенные формулы для S п. Такой формулой является ЭйлераМаклорена формула суммирования. В случае, если f(x)имеет кпроизводных и кчетное, формулу Эйлера Маклорена можно записать в виде

где 0<q<1 (q вообще зависит от п), BvБернулли числа. Если f(x)многочлен степени, меньшей к, то остаточный член равен нулю.

Имеется аналогия между задачами К. р. и. и дифференциальным и интегральным исчислениями. Операций разыскания разности соответствует нахождению производной; решение уравнения (2) как операция, обратная разысканию конечной разности, соответствует нахождению первообразной, т. е. неопределенному интегрированию. Формула (3) есть прямой аналог Ньютона Лейбница формулы. Эта аналогия проявляется при рассмотрении уравнений в конечных разностях. Уравнением в конечных разностях наз. соотношение

где Fзаданная функция, a f(x)искомая. Если выразить все Dⁿf(х) через f(x), f(z+1), ... , f(x+n), то уравнение в конечных разностях запишется в виде

Его решение относительно f(x+n):

При задании начальных значений f(x0), f(x0+1),... , f(x0+n-1) можно последовательно найти f(x0+n), f( х 0+п+1) и т. д. После решения уравнения (4) относительно f(x):

можно, положив х=х 0-1, найти f(x0-1), затем найти f(x0-2) и т. д. Таким образом, из уравнения через начальные данные могут быть найдены значения f(x)во всех точках х 0+k, где kцелое. Пусть рассматривается линейное уравнение

где Р 1 (х), ..., Pk(x)и Q(x)заданные функции на множестве х=0,1, 2... . Общее решение неоднородного уравнения (6) есть сумма частного решения неодно-

родного уравнения и общего решения однородного уравнения

Если f1(x), . .. , fk(x)линейно независимые решения уравнения (7), то общее решение уравнения (7) выражается формулой

где c1, ... , с k; произвольные постоянные. Постоянные c1, ... , ck можно найти, задав начальные условия, значения f(0), f(1), . . . , f(k-1). Линейно независимые решения f1(x), . . . , fk(x)(фундаментальная система) легко находятся в случае уравнения с постоянными коэффициентам

Решение уравнения (8) ищется в виде f(x)=l^x. Характеристическое уравнение для X:

Пусть l1, ... , lk его корни и все они различны. Тогда фундаментальная система решений уравнения (8) есть система и общее решение уравнения (8) представляется формулой:

Если l1 есть s-кратный корень характеристич. уравнения, то ему соответствуют частные решения x^s-1l^x1

Пусть, напр., рассматривается последовательность чисел, начинающаяся с нуля и единицы, в к-рой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, . . . (Фибоначчи числа). Ищется выражение для общего члена последовательности. Пусть j(x), х=0,1, 2, 3, ... ,общий член последовательности; условие