Математическая энциклопедия - конструктивная квантовая теория поля

раздел математической физики, изучающий свойства моделей квантовой теории поля (к. т. п.). Одна из задач К. к. т. п. состоит в исследовании квантовых полей в реальном 4-мерном пространстве-времени. Однако само существование этих полей остается (1978) математически недоказанным. Основные усилия были направлены на изучение менее сингулярных моделей к. т. п. в 2и 3-мерном пространстве-времени. К. к. т. п. представляет собой синтез идей и методов аксиоматич. теории поля и теории перенормировок с современными математич. методами. Само понятие релятивистского квантового поля допускает различные эквивалентные математич. интерпретации, что позволяет использовать в к. т. п. методы различных областей математики.

Квантовое поле можно трактовать либо в терминах теории нелинейных гиперболич. уравнений для операторных обобщенных функций, либо в терминах теории обобщенных случайных полей (устанавливая тесный контакт со статистич. механикой), либо как систему аналитич. функций многих комплексных переменных (при изучении аналитич. свойств S-матрицы), либо же рассматривать его с точки зрения С*-алгебр и теории представлений.

В первых работах по К. к. т. п. использовались в основном средства функционального анализа. Релятивистское квантовое поле в 2-мерном пространстве-времени, удовлетворяющее аксиомам Уайтмана, впервые удалось построить [8], только используя евклидову формулировку [9] к. т. п., позволившую привлечь методы теории вероятностей и статистич. механики.

Релятивистское квантовое поле полностью характеризуется последовательностью своих функций Уайтмана Wn(x1, ... , х п). Эквивалентная евклидова формулировка к. т. п. дается последовательностью функций Швингера Sn(x1,... , х п )(они получаются из Wn аналитич. продолжением в евклидовы точки x2, ...)), удовлетворяющих аксиомам Остервальдера Шрадера (ОШ). При некоторых дополнительных предположениях можно доказать, что Sn являются моментами вероятностной меры, обладающей специальными свойствами. Способ построения моделей к. т. п., при к-ром сначала строится вероятностная мера, а затем проверяются аксиомы ОШ для ее моментов, оказался наиболее удобным и является общепринятым.

В простейшем случае одного скалярного поля рассматривается измеримое пространствогде пространство обобщенных функций умеренного роста, есть s-алгебра, генерируемая цилиндрическими множествами, и класс вероятностных мер mна обладающих следующими специальными свойствами.

1) На задано естественное представление связной компоненты единицы Gевклидовой группы движений R^d автоморфизмами s-алгебры Требуется, чтобы мера и была G-инвариантна. Это условие есть евклидово выражение релятивистской инвариантности.

2) Пусть Ф(f) непосредственно заданное обобщенное случайное поле на т. е. Ф (f)(w)=w(f), Для любой функции F(w). на определяется Fq(w)=F(wq), где wq(f)=w(fq), fq(x1, ... , xd)=f(x1,... , -xd). Пусть а-алгебра, генерируемая функциями Ф(f) с supp fМ {x О R^d, xd>0). Требуется выполнение условия положительности ОШ:

для любой -измеримой функции Fна Это условие выражает положительную определенность скалярного произведения в релятивистском гильбертовом пространстве. Для двумерных моделей широко используется несколько более сильное условие марковости поля Ф(f).

3) Требуется существование нормы на такой, что равномерно ограничена и непрерывна по норме на

4) Подгруппа трансляций группы Gдолжна действовать эргодически. Это есть выражение единственности вакуума в релятивистской теории.

Если мера m удовлетворяет условиям 1-4, то она называется квантовой мерой, а соответствующее обобщенное случайное поле Ф (f) наз. евклидовым полем. Моменты квантовой меры

функции Швингера, удовлетворяют аксиомам ОШ. Существует единственное релятивистское квантовое поле, удовлетворяющее всем аксиомам Уайтмана, такое, что аналитич. родолжение его функций Уайтмана в евклидовы точки совпадает с функциями Швингера данной квантовой Mepы m. Если некоторая мера m удовлетворяет лишь условиям 1-3, то для всех ее эргодич. компонент выполняются условия 1-4.

Один класс квантовых мер строится легко это гауссовы меры (зависящие от параметра m>0) с характеристич. функционалом

здесь D оператор Лапласа (при допускается m=0). Соответствующее евклидово поле называют свободным (скалярным) евклидовым полем массы т.

Построение негауссовых мер представляет большие трудности, и результаты существенно зависят от размерности d. Обычная процедура следующая. Строится нек-рая функция на (потенциал взаимодействия), зависящая от параметров L, наз. объемным обрезанием, и x, наз. ультрафиолетовым обрезанием. Эвристически (см. Квантовая теория поля). Желательно, чтобы обладала свойствами аддитивного функционала. Затем строится мера

(определение см. ниже) и изучаются пределы последовательности мер при Для некоторых потенциалов V(каких именно определяется из физнч. соображений; вид Vи задает модель) предельная мера m будет удовлетворять условиям 1-4. Сходимость мер обычно понимается в смысле сходимости всех моментов и характеристич. функционалов.

Напр., для модели со взаимодействием lФ ⁴ при d=2 эта процедура конкретизируется следующим образом. Пусть гауссова мера на с характеристич. функционалом

где самосопряженное расширение оператора Лапласа с нек-рыми краевыми условиями на границе области Л на плоскости (обычно прямоугольник); ядром (-DL+m²)^-1(x, у)может быть, например, функция Грина для задачи Дирихле. Пусть, далее, и" при Случайная величина Ф x (х)=Ф (hx(x-. ))при является гладкой функцией параметра а