Математическая энциклопедия - квазилинеаризация

совокупность приемов численного решения нелинейных задач путем сведения их к последовательности линейных задач. В основе аппарата квазилинеаризации лежит метод Ньютона и его обобщение на функциональные пространства, теория дифференциальных неравенств и метод динамич. программирования. Наиболее простым примером, иллюстрирующим приемы К., является использование метода Ньютона Рафсона для отыскания корня r скалярной монотонно убывающей строго выпуклой функции f(x). В этом случае на каждом шаге итеративного процесса исходная нелинейная функция f(x). аппроксимируется линейной j(x), отыскивается корень j(х), к-рый служит следующим приближением, так что

Построенная последовательность обладает свойством монотонности ( х 0<х 1<х 2<...<r) и квадратичной сходимости

Применение К. для решения уравнения Риккати

(предполагается, что решение существует на отрезке [0, t0]) выглядит следующим образом. Исходное уравнение заменяется эквивалентным

где минимум берется по функциям u(t), заданным на [0, t0]. Данное уравнение обладает рядом свойств, присущих линейным уравнениям, и для его решения используется линейное дифференциальное уравнение

где u(t) - некоторая фиксированная функция. Опираясь на свойство v(t)<w(t)(причем равенство имеет место при u(t)=y(t)), можно построить систему последовательных приближений

удовлетворяющих линейным уравнениям

То же самое рекуррентное соотношение может быть получено путем применения метода Ньютона Канторовича к исходному нелинейному уравнению.

Использование схемы К. при решении краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

приводит к следующей последовательности функций {un(t)}, удовлетворяющих линейным уравнениям

с линеаризованными краевыми условиями

Существование, единственность и квадратичная сходимость последовательности следуют из соответствующей выпуклости функций f, g1, g2 при достаточно малом интервале [t1, t2].

Метод К. находит применение при решении двухточечных и многоточечных краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для эллиптич. и параболич. уравнений в частных производных, вариационных задач, дифференциально-разностных и функционально-дифференциальных уравнений и т. д. Как и всякая итеративная схема, метод К. удобен для реализации на ЭВМ, допускает различные модификации, позволяющие ускорить сходимость для более узких классов задач. Существуют разнообразные примеры его использования как эвристического способа решения ряда физических, технических и экономических задач.

Лит.:[1] Беллман Р., Калаба Р., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968.

И. А. Ватель, Ф. И. Ерешко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985