Математическая энциклопедия - параболического уравнения метод

метод приближенного решения высокочастотных дифракционных задач (см. Дифракции математическая теория}. Как правило, к П. у. м. приходится прибегать для нахождения волнового ноля в тех областях, где лучевой метод применять нельзя из-за того, что иоле лучей теряет в том или ином смысле регулярность. Пусть, напр., поставлена задача о падении плоской волны на идеально отражающее выпуклое тело.

Волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца

Здесь точка ( х, у).пробегает внешность ограниченной выпуклой области W, на границе к-рой выполняется краевое условие Дирихле . Предполагается, что и имеет всюду положительную кривизну. Решение ипредставимо в виде , где удовлетворяет излучения условиям. Решение такой задачи существует и единственно.

В высокочастотном случае (k"велико") важно построить формальное коротковолновое решение этой задачи (т. е., грубо говоря, разложение, формально удовлетворяющее всем условиям задачи, достаточно далекие члены к-рого имеют сколь угодно высокий порядок малости при ). Можно показать, что в рассматриваемом случав формальное решение будет асимитотич. разложением классич. решения.

Лучевой метод позволяет построить искомое коротковолновое разложение всюду, кроме области тени (см. рис.). Выражение для волнового ноля, построенное с помощью лучевого метода, теряет гладкость на границе тень-свет (полупрямые ОА и О'А' на рис.). В окрестности ОА (и О'А').коротковолновая асимптотика волнового поля уже не выражается лучевыми формулами. Окрестности ОА (и О'А'). наз. обычно полутенью.

Ключевым моментом при построении формального решения поставленной выше задачи является рассмотрение окрестности точек касания Ои О' лучей падающей волны и кривой . Точка Опринята за начало координат, положительная часть оси Ох отделяет область тени от освещенной области.

Пусть в окрестности Овведены новые координаты s, п. Точка характеризуется ее расстоянием вдоль Sот О. Считается, что s > 0 (соответственно s< 0) в области тени (соответственно в освещенной области). Если , то точка Мхарактеризуется ее расстоянием n от Sи координатой sпроекции Мна S. В координатах s, n уравнение Гельмгольца имеет вид

( радиус кривизны Sв точке s). Используя ряд Маклорена для :

можно заменить все коэффициенты уравнения (2) их формальными разложениями по степеням, s и n. В растянутых координатах

полагая и уравнении (2)

и приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степенях , приходят к типичной для метода пограничного слоя цепочке рекуррентных уравнений

Здесь первое уравнение и есть "параболическое" уравнение, давшее название П. у. м.:

По существу уравнение (4) является уравнением типа Шрёдингера. В операторах коэффициенты полиномы от s и v. Для формального выполнения краевого условия достаточно потребовать, чтобы . Роль других краевых условий играет требование, чтобы при больших , ряд (3) формально переходил бы в разложение лучевого метода. Для можно вывести явную формулу (т. н. формулу Фока), имеющую вид интеграла Фурье

где Ф сравнительно просто выражается через функции Эйри. Методика склеивания (сращивания) асимптотич. разложений дает возможность получить формулы для волнового поля по всей области тени и полутени.

В случае волн соскальзывания и шепчущей галереи выводятся соответствующие "параболические" уравнения и их решения выражаются через функции Эйри. Развитие теории лазеров привело к необходимости рассматривать волны, сосредоточенные в окрестности изолированных лучей. Выделяя соответствующий фазовый множитель и проводя далее построения, аналогичные построениям метода пограничного слоя, приходят к "параболическому" уравнению, через решение к-рого выражается в первом приближении волновое поле. В этом случае "параболическое" уравнение будет уравнением Шрёдингера с квадратичным потенциалом. П. у. м. находит применение также при расчете волнового поля в световодах, в статистически неоднородных средах и во многих др. задачах. Аналоги П. у. м. используются в теории нелинейных волн.

Лит.:[1] Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, М., 1970; [2] Бабич В. М., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [3] Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я., Метод пограничного слоя в задачах дифракции, Л., 1974. Б. М. Бабич.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985