Математическая энциклопедия - полезности теория

теория, изучающая предпочтение индивидов и его представление в виде числовой функции. Предпочтением на множестве альтернатив Xназ. транзитивное бинарное отношение R на X;оно представляется функцией и(х).на X;при этом и(х).наз. функцией полезности, если для любых , из хRу следует и наоборот. Таким образом, в П. т. изучаются упорядоченные множества и их монотонные отображения в числовое пространство (обычно одномерное). П. т. возникла в работах экономистов 18 в.; начало современной (50-е гг. 20 в.) П. т. было положено Дж. Нейманом (J. Neumann) и О. Моргенштерном (О. Morgenstern) (см. [1]).

Существование функции полезности в случае конечного множества Xявляется очевидным. В бесконечном случае необходимым и достаточным условием существования функции полезности является существование плотного по полезности счетного подмножества , т. е. для любых , существует такое , что xR*z и zR*y, где R*- строгое предпочтение ( и не yRx). Если X - выпуклое множество векторного пространства, Rнепрерывно на Xи для любых , и любого a, 0<a<1, верно , то существует единственная с точностью до положительной линейной трансформации линейная функция полезности (см. [3]). Различные комбинации более слабых условий приводят к нелинейной, разрывной или в том же смысле неединственной функции полезности. Напр., если X - векторное пространство и из xR*y следует для всех и a>0, то функция оказывается однозначной, но кусочно линейной.

В П. т. также рассматриваются стохастич. упорядочения и упорядочения сумм или разностей альтернатив (тогда функция полезности строится по нек-рому кватернарному отношению на X), обобщения для п- арного отношения вместо бинарного, построение функции полезности одновременно с субъективными вероятностями, связь между полезностью многокомпонентных альтернатив и полезностями их компонент и др. (см. [3], [4]).

Лит.:[1] Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; [2] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [3] Фишберн П. С., Теория полезности для принятия решений, пер. с англ., М., 1978; [4] Суппес П., 3инес Д ж., в кн.: Психологические измерения, пер. с англ., М., 1967.

Э. И. Вилкас.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985