Математическая энциклопедия - полное риманово пространство

риманово пространство с функцией расстояния r, полное как метрич. пространство с метрикой r.

Пусть М - связное риманово пространство со связностью Леви-Чивита, тогда следующие три утверждения эквивалентны: а) М - полно; б) для каждой точки экспоненциальное отображение ехр p определено на всем М р (где М р - касательное пространство и Мв р);в) каждое ограниченное по отношению к расстоянию r замкнутое множество компактно (теорема Хопфа Ринова). Следствия: любые две точки р,П. р. п. можно соединить на Мгеодезич. длины r( р, q);любая геодезическая неограниченно продолжаема.

Имеется [2] обобщение этой теоремы на случай пространства с несимметричной функцией расстояния.

Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985