Математическая энциклопедия - положительно определенное ядро

комплекснозначная функция K на , где X - произвольное множество, удовлетворяющая условию

для любых

.

Измеримые П. о. я. на пространстве с мерой (X,m) соответствуют положительным интегральным операторам в L² (X,m); включение в схему такого соответствия произвольных положительных операторов требует введения обобщенных П. о. я., ассоциированных с оснащенными гильбертовыми пространствами (см. [1]).

Теория П. о. я. обобщает теорию положительно определенных функций на группе: для положительной определенности функции f на группе Gнеобходимо и достаточно, чтобы функция К( х, y) = f(xy^-1).на G X G была П. о. я. В частности, на П. о. я. распространяются нек-рые результаты теории положительно определенных функций. Напр., теорема Бохнера о том, что всякая положительно определенная функция есть преобразование Фурье положительной меры (т. е. интегральная линейная комбинация характеров), обобщается следующим образом: всякое П. о. я. (обобщенное) допускает интегральное представление с помощью т. н. элементарных П. о. я. относительно данного дифференциального выражения [1].

Лит.:[1] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [2] Крейн М. Г., "Укр. матем. ж.", 1949, т. 1, № 4, с. 6498; 1950, т. 2, MS 1, с. 10-59. В. С. Шульман.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985