Математическая энциклопедия - положительный конус

подмножество Кдействительного векторного пространства Е, удовлетворяющее следующим условиям:

1) если

2) .

П. к. определяет полуупорядочение в Е:по определению, , если

Пусть Е - банахово пространство. Если Е - замкнутый воспроизводящий П. к. (т. е. такой П. к., каждый вектор к-рого представим в виде z=x-у, где х,), то ||x||+||у||M||z||, Mне зависит от z. Телесный, т. е. имеющий внутренние точки, П. к. является воспроизводящим.

Пусть Е*сопряженное пространство к банахову пространству Е. Если воспроизводящий П. к., то множество положительных (относительно П. к.) функционалов (т. е. таких f, что при ) является П. к. (это т. н. сопряженный кону с). П. к. Квосстанавливается на К*, а именно:

Если К - телесный П. к., то его внутренность совпадает с

Конус в банаховом пространстве Еназ. нормальным, если найдется такое d>0, что ||x+у||d(||u||+ + ||y||) при х,. П. к. нормален тогда и только тогда, когда сопряженный конус К* является воспроизводящим. Если К - воспроизводящий конус, то сопряженный конус К* нормален.

Конус Кназ. миниэдральным, если каждая пара элементов х,имеет точную верхнюю грань z=sup(z, у).(то есть , уи для любого из , увытекает ). Если П. к. правилен и миниэдрален, то всякое счетное ограниченное подмножество имеет точную верхнюю грань.

Лит.:[1] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962.

В. И. Ломоносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985