Математическая энциклопедия - проективная плоскость

двумерное проективное пространство,инцидентностная структура , где элементы множества наз. точкам и, элементы множества прямыми, а I отношение инцидентности. Инцидентностная структура удовлетворяет следующим аксиомам:

1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL и qIL;

2) для любых двух различных прямых Lи Мсуществует единственная точка ртакая, что pIL и рIМ;

3) существуют четыре точки, никакие три иа к-рых не инцидентны одной прямой.

Напр., пучок П прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства, проходящих через точку О, является П. п., если в качестве проективной точки считать прямую пучка П, а в качестве проективной прямой плоскость из П. В этой интерпретации получают прозрачный геометрич. смысл однородные координаты точки П. п. над полем как координаты какого-либо вектора прямой, изображающей эту точку (см. Проективная геометрия, Проективные координаты), Другим примером является П. п., состоящая из семи точек Ai, i=l, . . ., 7, и семи прямых {A1, А 2, A4}, {A2, А 3, А 5}, {А 3, A4, А 6},{A4, А 5, А 7), {А 5, A6, А 1}, {А 6, A7, A2}, {A7, A1, A3} (рис. 1),представитель класса конечных проективных плоскостей. П. п. Р(2, п).наз. конечной проективной плоскостью порядка п, если отношение инцидентности удовлетворяет еще одной аксиоме:

4) существует прямая, инцидентная ровно n+1 точке.

В Р(2, п).каждая точка (прямая) инцидентна n+1 прямой (точке), а число точек плоскости равно числу прямых и равно n²+n+1.

Остается невыясненным (1983) вопрос, для каких значений псуществует П. п. Р(2, п). Доказано существование конечной П. п., порядок к-рой есть степень простого числа (см. [4]). Доказано также (см. [5]) отсутствие П. п. Р(2, п).для широкого класса чисел: если псравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то Р(2, п).не существует; таковы, напр., n=6, 14, 21, 22, .... Вопрос относительно n=10, 12, 15, 18, ... остается открытым. Важной задачей теории конечных П. п. является изучение подплоскостей заданной плоскости P(2, п). Так, если Р(2, т).является собственной подплоскостью конечной П. п. Р(2, п), то или m²=n (см. [5]). Специфическим для П. п. является понятие двойственности. Две П. п. наэ. двойственными, или дуальными, если между точками (прямыми) одной плоскости и прямыми (точками) другой можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность. Нек-рые П. п. (напр., П. п. над полем k).допускают двойственное отображение на себя, к-рое наз. корреляцией, а П. п., допускающие корреляцию, наз. автодуальными. Для П. п. имеет место т. н. малый принцип двойственности: если верно нек-рое предложение о точках и прямых П. п., сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно предложение , двойственное , т. е. предложение, к-рое получается из заменой слова "точка" на слово "прямая" и наоборот. Изоморфное отображение П. п. на себя наз. коллинеацией. Коллинеация конечной П. п. Р(2, n) является подстановкой множества точек и подстановкой множества прямых, причем эти подстановки подобны. Конечная П. п. наз. дезарговой, если она имеет группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее точках. Группа коллинеаций дезарговой П. п. PG(2, p^h).имеет порядок

Группа коллинеаций недезарговой П. п. Р(2, п).имеет порядок, не превосходящий