Математическая энциклопедия - спектральной плотности оценка

функция от наблюденных значений X(1), . . ., X(N)стационарного случайного процесса с дискретным временем, используемая в качестве оценки спектральной плотности В качестве С. п. о. часто используются квадратичные формы

где нек-рые комплексные коэффициенты (зависящие от Можно показать, что асимптотич. поведение при первых двух моментов С. п. о. в целом не ухудшится, если рассмотреть лишь подкласс квадратичных форм таких, что при s1-t1=s2-t2; это позволяет ограничиться С. п. о. вида

где

есть выборочная оценка ковариационной функции стационарного процесса X(t). Оценку можно представить также в виде

где IN(x) периодограмма, а Ф N(x) -нек-рая непрерывная четная функция, определяемая своими коэффициентами Фурье

Функцию Ф N(x) наз. спектральным окном;обычно рассматривают спектральные окна вида

Ф N(x) = А А Ф( А N х),

где Ф(х) - нек-рая непрерывная на функция такая, что

а при но Аналогично рассматривают коэффициенты bN(t)вида

и функцию К(х), называемую ковариационным окном. При достаточно слабых ограничениях на гладкость спектральной плотности или на условия перемешивания случайного процесса X(t)для широкого класса спектральных или ковариационных окон оценка оказывается асимптотически несмещенной и состоятельной.

В случае многомерного случайного процесса для оценки элементов матрицы спектральных плотностей поступают аналогичным образом, используя соответствующие периодограммы Вместо С. п. о. в виде квадратичных форм от наблюдений часто также предполагают, что спектральная плотность имеет нек-рую заданную форму, зависящую от конечного числа параметров, и затем разыскивают зависящие от наблюдений оценки параметров, содержащихся в выражении для спектральной плотности (см. Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектральная оценка параметрическая).

Лит.:[1] Бриллинджер Д., Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] Xеннан Э ., Многомерные временные ряды, пер. сангл., М., 1974; [3] Андерсон Т., Статистический анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1978.

И. Г. Журбенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985