Математическая энциклопедия - специальная линейная группа

степени пнад кольцом R - подгруппа SL(n,R )полной линейной группы GL( п,R), являющаяся ядром гомоморфизма (т. н. определителя) detn. Строение группы SL(n,R )зависит от кольца R, степени n и типа определителя, заданного на GL(n,R). Существуют три основных типа определителя, относительно к-рого рассматриваются группы SL( п,R): обычный определитель в случае, когда R коммутативное кольцо, некоммутативный определитель Дьёдонне, если R тело (см. [1]), и гомоморфизм приведенной нормы для конечномерных над своим центром тел R (см. [2]).

С группой SL(n,R )обычно связывают следующие группы: группу Е( п,R), порожденную элементарными матрицами (см. Алгебраическая К-теория), а также для каждого двустороннего идеала qкольца R конгруэнц-подгруппу SL( п, R, q )и группу Е( п, R, q) нормальный делитель Е( п, R), порожденный матрицами для Пусть - вложение Е( п, R, q) в E(n+1,R, q). Тогда переход к прямому пределу приводит к группе Е(R, q). Аналогично определяется группа SL(R, q). Для q=R вместо E(R, R) и SL(R, R) пишут соответственно Е(R)и SL(R); последняя группа наз. стабильной специальной линейной группой кольца Л. Нормальное строение SL(R), тесно связанное со строением групп SL( п, R), таково. Группа Нявляется нормальным делителем SL(R) тогда и только тогда, когда для нек-рого (причем единственного) двустороннего идеала qкольца R имеют место включения

Таким образом, абелевы группы классифицируют нормальные делители SL(R). Группа SK1(R)=SK1(R, R) наз. приведенной группой Уайтхеда кольца R. Удовлетворительное описание нормального строения группы SL(n, R) в случае произвольного кольца R связано с условием стабильности ранга идеала q(st. r. q). Именно, если то имеет место изоморфизм

Кроме того, если выполнено условие то для всякого нормального делителя Нгруппы SL(n,R )при подходящем qимеют место включения

где

прообраз центра группы Для специальных колец имеются окончательные результаты (см., напр., [2], [4]).

В случае некоммутативного определителя Дьёдонне результаты имеют исчерпывающий характер. Группы SL(n, R) и Е( п, R) совпадают. SL(n, R) коммутант группы GL(n, R), за исключением случая SL(2,F2)(Fq - поле из qэлементов). Центр Zn, группы SL(n, R )состоит из скалярных матриц где элемент центра R и где коммутант мультипликативной группы R* тела R. Факторгруппа SL(n, R)/Zn проста, за исключением случая n=2,R=F2, F3. В случае п=2 SL(2, F2)=SL(2, F2)/Z2 и группа SL(2, F2) изоморфна симметрич. группе S3 степени 3, а группа SL(2, F3)/Z3 изоморфна знакопеременной группе A4 степени 4.

Если detn гомоморфизм приведенной нормы, то всегда

и

причем для полей Л группа SK1(R) тривиальна Долгое время существовала гипотеза, что SK'1(R)={0} для произвольного тела R. Однако в 1975 показано, что это не так (см. [5]). Группы SK1(R) играют важную роль в алгебраич. геометрии (см. [6], [7]). Имеются также нек-рые обобщения гомоморфизма приведенной нормы, что стимулировало ряд новых исследований по С. л. г.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [3] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974; [4] Суслин А. А., лИзв. АН СССР. Сер. матeм.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985