Математическая энциклопедия - спектр кольца

окольцованное топология, пространство Spec А, точками к-рого являются простые идеалы кольца Ас Зариского топологией на нем (к-рая наз. также спектральной топологией). При атом предполагается, что кольцо Акоммутативно и с единицей. Элементы кольца А можно рассматривать как функции на пространстве Spec A, полагая Пространство Spec Aнесет пучок локальных колец (Spec А), называемый структурным пучком. Для точки слой пучка над это локализация кольца Аотносительно

Любому гомоморфизму колец , переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отображение Если N нильрадикал кольца А, то естественное отображение является гомеоморфизмом топологич. пространств.

Для ненильпотентного ялемента пусть где Тогда окольцованные пространства D(f) и Spec A(f) , где А (f) локализация Аотносительно f, изоморфны. Множества D(f) наз. главными открытыми множествами. Они образуют базис топологич. пространства Spec A. Точка замкнута тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца А. Сопоставляя точке ее замыкание в Spec A, получают взаимно однозначное соответствие между точками пространства Spec Аи множеством замкнутых неприводимых подмножеств в Spec A. Пространство Spec Aквазикомпактно, но, как правило, не является хаусдорфовым. Размерностью пространства Spec Aназ. наибольшее п, для к-рого существует цепояка различных замкнутых неприводимых множеств

Многие свойства кольца Аможно охарактеризовать в терминах топологич. пространства Spec A. Напр., кольцо Анётерово тогда и только тогда, когда Spec A - нётерово пространство; пространство Spec Анеприводимо тогда и только тогда, когда кольцо A/N является областью целостности; размерность Spec Асовпадает с размерностью Крулля кольца Аи т. д.

Иногда рассматривают максимальный спектр Specm A - подпространство пространства Spec А, состоящее из замкнутых точек. Для градуированного кольца Арассматривают также проективный спектр Proj A. Если то точки Proj Aэто простые однородные идеалы кольца Атакие, что

Лит.:[1] Бурбакн Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985