Математическая энциклопедия - спектральная плотность

стационарного случайного процесса или однородного случайного поля в n-мерном пространстве преобразование Фурье ковариационной функции стационарного в широком смысле случайного процесса или однородного в широком смысле случайного поля. Стационарные случайные процессы и однородные случайные поля, преобразование Фурье ковариационной функции к-рых существует, наз. процессами, имеющими С. п. Пусть

есть n-мерный стационарный случайный процесс, а

его спектральное представление (Ф k спектральная случайная мера, отвечающая k- йкомпоненте Xk(t) многомерного случайного процесса X(t)); интегрирование здесь проводится в пределах в случае дискретного времени tи в пределах в случае непрерывного времени t. Процесс X(t)имеет С. п.

если все элементы

спектральной меры абсолютно непрерывны и

В частности, если для процесса X(t), выполняется соотношение

где

ковариационная функция процесса X(t). то X(t)имеет С. п. и

Аналогично обстоит дело и в случае процессов X(t) с непрерывным временем t. С . п. иногда наз. спектральной плотностью 2-го порядка, в отличие от старших С. п. (см. Спектральный семиинвариант).

Однородное n-мерное случайное поле X(t1, . . ., tn )имеет С. п. если его спектральная функция обладает тем свойством, что ее смешанная производная существует почти всюду, причем

и

Лит.:[1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963.

И. Г. Журбенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985