Математическая энциклопедия - спектральная последовательность

последовательность дифференциальных модулей, каждый из к-рых является модулем гомологии предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных или триградуированных) модулей, к-рые изображают графически в виде наложенных друг на друга таблиц на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п. объектов произвольной абелевой категории (напр., бимодулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.).

Все известные С. п. получаются из точных пар. Точной парой (D¹,Е ¹,i¹,j¹,k¹) наз. точная диаграмма вида

Гомоморфизм d^l=j¹kⁱ является дифференциалом в Е ¹. По каждой точной паре можно построить производную точную пару (D²,E²,i²,y²,k²), для к-рой D²=Im i¹ и E²=H(E¹, d¹). Итерирование этой конструкции дает С. п. Е={E ^п, dⁿ}.

1) С. п. Лере. Фильтрованный цепной комплекс модулей ({К ^р}, d )определяет точную пару биградуированных модулей D^lp,q=Hp+q(K^P), E¹q,q=Hp+q(K^P/K^P-1). В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала d^r равна (-r, r-1) и

Модули образуют фильтрацию в H*(K). Биградуированный модуль

наз. присоединенным к Н * (К). Фильтрация {К ^р} наз. регулярной, если K^p=0 при р<0, при q<0и Для регулярной фильтрации или р<0 или q<0; такая С. п. наз. С. п. первой четверти. Кроме того, при r>max ( р,q+1). В этом случае говорят, что С. п. сходится к Н * (К), и пишут

2) С. п. Лере Серра. Частный случай С. п. Лере возникает из цепного (или коцепного) комплекса фильтрованного топологич. пространства. Напр., фильтрация клеточного разбиения Xего остовами дает вырожденную С. п. для к-рой при и С. п. Лере Серра получается из фильтрации тотального пространства . расслоения в смысле Серра прообразами р ^-1( В ^п )остовов В ^п базы В. Если слой Fи база Влинейно связны, то для каждой группы коэффициентов G это дает С. п. с дифференциалами d^r бистепени ( r, r-1), для к-рой

где система локальных коэффициентов над В, состоящая из групп Н q(F; G). При этом гомоморфизм совпадает с композицией

а гомоморфизм совпадает с композицией

где r достаточно велико. Дифференциал С. п. совпадает с трансгрессией:

Этой гомологич. С. п. Лере Серра двойственна когомологич. С. п. Лере Серра с дифференциалами dr бистепени (r, -r+1), для к-рой Если Gявляется кольцом, токаждый член Е r является биградуированным кольцом, дифференциал dr является дифференцированием кольца Е r и умножение в Е r+1 индуцировано умножением в Е r. Если G - поле и база Водносвязна, то

3) С. п. Атьи Xирцебруха (Уайтхеда ) получается применением функтора обобщенных (ко)гомологий к той же фильтрации пространства Е. В ее когомологич. варианте В отличие от С. п. Лере Серра С. п. Атьи Хирцебруха для тривиального расслоения вообще говоря, невырождена.

4) С. п. Эйленберга Мура ассоциирована с каждым квадратом расслоений

В ее когомологич. варианте

Если R - поле и квадрат состоит из H-пространств и H-отображений, то эта С. п.в категории биградуированных алгебр Хопфа.

5) С. п. Адамса пишется для каждого простого и любых пространств Xи Y(удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее

где А р Стинрода алгебра rnod p. Бистепень dr равна (r, r-1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при r>s существует мономорфизм и, значит, определена группа Существует такая убывающая фильтрация {F^s} группы {Y, X} стабильных гомотопич. классов отображении что а состоит из всех элементов группы {Y, X} конечного порядка, взаимно простого с р. Эта С. п. при Х=Y=S позволяет лв принципе

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985