Математическая энциклопедия - дифференциальная алгебра

раздел алгебры, изучающий объекты, в к-рых, наряду с операциями сложения и умножения, имеются операции дифференцирования: дифференциальные кольца, дифференциальные модули, дифференциальные поля, дифференциальные алгебраич. многообразия.

Один из основных объектов Д. а.алгебра дифференциальных полиномов {Y1: ..., Yn}, являющаяся аналогом кольца многочленов в коммутативной алгебре (см. Расширение дифференциального поля). Каждой системе дифференциальных уравнений

ставится в соответствие совершенный дифференциальный идеал {F1,. .., Fk}, порожденный этой системой в алгебре дифференциальных полиномов. Теорема Ритта Рауденбаха о базисе утверждает, что таким образом получаются все совершенные дифференциальные идеалы (дифференциальный идеал I наз. совершенным, если из для нек-рого n>0 следует, что ), т. е. в любом из них можно выбрать конечное число дифференциальных полиномов таких, что совершенный дифференциальный идеал, порожденный этими полиномами, совпадает с данным. В отличие от теоремы Гильберта о базисе в кольце многочленов, в теореме Ритта Рауденбаха существенна совершенность идеалов, т. е. дифференциальный идеал (даже совершенный) может не являться конечно порожденным дифференциальным модулем.

Совершенному дифференциальному идеалу ставится в соответствие дифференциальное алгебраич. многообразие множество точек в аффинном пространстве над нек-рым универсальным расширением поля коэффициентов, аннулирующих любой полином из данного идеала. Имеет место аналог теоремы Гильберта о нулях. Пусть F1, ..., F рконечная система дифференциальных полиномов и пусть Gдифференциальный полином, обращающийся в нуль во всех решениях данной системы. Тогда некоторая степень полинома Gявляется линейной комбинацией полиномов Fи их производных разного порядка с коэффициентами из алгебры дифференциальных полиномов. В частности, если система F1,. . ., Fp не имеет нулей, то нек-рая линейная комбинация полиномов Fи их производных разного порядка равна единице.

Совершенный дифференциальный идеал допускает представление в виде пересечения конечного числа простых дифференциальных идеалов. Этому представлению соответствует разложение многообразия на конечное число неприводимых компонент. Для простых дифференциальных идеалов вводится понятие общего нуля и его размерности, как н в алгебраич. геометрии. Для неприводимого замкнутого множества Vв дифференциальном аффинном пространстве, т. е. в аффинном пространстве над универсальным расширением Uполя коэффициентов, определяется дифференциальный размерностный полином

где тколичество дифференцирований в поле F. Коэффициент а т наз. дифференциальной размерностью множества V, степень полинома t= deg coy дифференциальным типом множества V, а коэффициент а t.его типичной дифференциальной размерностью. Полином wV является бирациональным инвариантом, но не является дифференциальным бирациональным инвариантом. Таковыми будут am(V), r(V)и at(V)(V). Нахождение дифференциальных бирациональных инвариантов представляет значительный интерес. Другая проблема оценить возможные значения полученных инвариантов. Пусть 2 подмножество в {Y1, ..., Yn}. Если элементы из 2 имеют ограниченный порядок, то дифференциальные размерностные полиномы компонент {2 } подчинены некоторым ограничениям. В частности, если для каждого Yj порядок относительно Yj любого элемента из е не превосходит ej, то для любой компоненты многообразия {2 } из условия а m (р) = О следует, что В общем случав имеется гипотеза, что

Если множество состоит из пдифференциальных полиномов F1,..., Fn, то выдвигаются еще две гипотезы. Пусть

и

где p пробегает симметрич. группу S п. Первая гипотеза утверждает, что для любой компоненты р многообразия {Fx, ..., Fn} изam(p) = 0 следует, что am-1()h. Это предположение доказано в нек-рых частных случаях. Вторая гипотеза состоит в том, что для любой компоненты р многообразия {F1, ..., Fn} из а т (р)=am_1() = 0 следует, что w р = 0.

продолжение Дифференциальная алгебра...

Одной из сложных проблем, исследуемых Д. а., является проблема разложения дифференциально алгебраич. многообразия на неприводимые компоненты. Даже если система 2 состоит из одного неприводимого дифференциального полинома s, то соответствующее многообразие состоит, в общем случае, из нескольких компонент, одна из к-рых содержит все неособые решения уравнения s=0 (хотя может содержать и особые решения), а все остальные компоненты состоят из решений, обращающих в 0 любую сепаранту дифференциального полинома а. Случай гиперповерхности (система 2 из одного уравнения) особенно важен, т. к. всякое дифференциально алгебраич. многообразие над обыкновенным дифференциальным полем дифференциально бирационально изоморфно гиперповерхности.

Поскольку всякий простой дифференциальный идеал полностью определяется своим характеристич. множеством, проблему разложения дифференциально алгебраического многообразия {} можно разделить на две: 1) найти конечное множество авторедуцированных подмножеств в {Y1, ...,Yn), каждое из к-рых является характеристич. множеством простого дифференциального идеала, содержащего Ф, такое, что U включает в себя характеристич. множество каждой компоненты {Ф}; 2) для данного авторедуцированного множества в {Y1,. . ., Y п} определить, является ли оно характеристич. множеством какой-нибудь компоненты {Ф}.

Решение проблемы 2) в общем случае не известно (1978), но в важном специальном случае, когда Ф состоит из одного дифференциального полинома, полное решение дается двумя теоремами Ритта: теоремой о компонентах и теоремой о низких степенях (см. ниже).

Задача нахождения компонент многообразия {Ф} может быть также редуцирована к проблеме 1) и следующей проблеме: 3) для данных характеристич. множеств Аи Впростых дифференциальных идеалов и соответственно определить, имеет ли место включение

Проблема 3) также далека от решения. В частном елучае, когда Асостоит из одного неприводимого дифференциального полинома Аи q является дифференциальным идеалом [Y1, ..., Yn], это задача о том, лежит ли точка (0, . . ., 0) в общем решении дифференциального уравнения А = 0.

Проблема 1) решена для конечного множества "в принципе": при помощи индуктивной процедуры (теория исключения для систем алгебраических дифференциальных уравнений) она сводится к некоторым "более легким" задачам о многочленах от конечного числа неизвестных над т. е. задача об алгебраических дифференциальных уравнениях сводится к задаче об алгебраич. уравнениях.

Теорема о компонентах утверждает, что особые компоненты являются в свою очередь общими компонентами других дифференциальных полиномов, точнее: пусть -дифференциальное поле и F-ненулевой дифференциальный полином в {Y1,..., Yn}. Если р-какая-либо компонента идеала {F} кольца {Y1, ...,Yn}, то существует неприводимый дифференциальный полином такой, что -общая компонента многообразия {В}.

Теорема о низких степенях дает критерий для определения того, является ли общая компонента неприводимого дифференциального полинома компонентой для {F}. Точнее, пусть , порядки Fи Аотносительно Yn равны ти lсоответственно, Aj есть j -я производная от Аи Sсепаранта для А. Существуют и r>0 такие, что

где никакие два множества i1j, ..., im-l , j не совпадают, порядок cj относительно Yn не превосходит lи cj не делится на А. Если найдено такое разложение, то теорема о низких степенях гласит: общая компонента многообразия {А} является компонентой многообразия {F} тогда и только тогда, когда выписанное разложение содержит член с k А ^pk, свободный от производных А, и степень к-рого ниже степени любого другого слагаемого в выписанном разложении, рассматриваемом как полином от А, А 1,..., А т_1 (пненулевой характеристике это условие не является ни необходимым, ни достаточным).

Другое направление исследований в Д. а. представляет вопрос о расширении специализаций. Пусть (h1, . .., hn) и (x1, ..., xn) точки в Uⁿ, где Uуниверсальное расширение дифференциального поля Точка (x1, ..., xn) наз. дифференциальной специализацией точки (h1, ..., hn). над (что обозначается, если любой дифференциальный полином , обращающийся в нуль в (h1, ..., hn), обращается в нуль и в (x1, ..., xn). Если и то очевидно, что Говорят, что первая специализация является расширением второй.

Пусть даны (h1, ..., hn) и kи пусть таков, что Доказано, что существует ненулевой дифференциальный полином В 0{Y1, ..., Yk}, удовлетворяющий условию и такой, что любая дифференциальная специализация для которой может быть расширена до дифференциальной специализации где Однако, в отличие от ситуации в алгебраич. геометрии, дифференциальная специализация (h1, . . ., hk) (x1, ..., xk). не всегда может быть расширена до дифференциальной специализации даже если элементы xk+1, ..., xn будут принимать значение . Таким образом возникает задача: найти критерий, когда дифференциальная специализация может быть расширена до дифференциальной специализации (h1, ..., hn)

Частный случаи этой проблемы встречается в проблеме неопределенных форм. Пусть полиномы F, взаимно простые, ' и Fи Gобращаются в нуль в точке (0, . . ., 0). Проблема состоит в том, чтобы отношению F/G приписать значение в точке (0, ..., 0). Пусть элементы дифференциально алгебраически независимы над и

Естественно сказать, что F/G допускает значение a. в точке

Таким образом проблема сводится к нахождению расширений до (t1, ..., tn, и). Это эквивалентно определению элементов таких, что (0, . . ., 0, а) является нулем общей компоненты дифференциального полинома