Математическая энциклопедия - дифференциально-геометрическая структура

одно из основных понятий современной дифференииальной геометрии, включающее конкретные изучаемые в ней структуры. Д.-г. с. определяется для данного дифференцируемого многообразия М ^п как дифференцируемое сечение в расслоенном пространстве( Х F, pF, М ⁿ )с базой М ^п, ассоциированном с нек-рым главным расслоением (X, р, М ^п), или, в другой терминологии, как дифференцируемое поле нек-рого геометрич. объема на М ⁿ. Здесь Fявляется нек-рым дифференцируемым -пространством, где (V структурная группа Ли главного расслоения (X, р, М ^п), или, в другой терминологии, пространством представления группы Ли

Если (X, р, М ⁿ).главное расслоение реперов в касательных к М ^п пространствах, Gнек-рая замкнутая подгруппа в =GL(n, R), a Fоднородное пространство то соответствующая Д.-г. с. на М ^п наз. G-c труктурой, или инфинитезимальной структурой 1-го порядка. Напр., если Gсостоит из всех таких линейных преобразований (элементов из GL(n,R).), к-рые оставляют инвариантным m-мерное пространство в Rⁿ, то соответствующая G-структура определяет на М ^п распределение m-мерных подпространств. Если Gявляется ортогональной группой (и, R) подгруппой элементов из GL(n,R), сохраняющих скалярное произведение в Rⁿ, то G- структура есть риманова метрика на М ^п, т. е. поле положительно определенного симметр:;ч. тензора gij. Аналогично, частными случаями G-структуры на М ^п являются почти комплексная и комплексная структуры. Обобщением G-структуры является инфинитезимальная структура r-го порядка r>1 (или G-структура высшего порядка); здесь (X, р) М ⁿ )является главным расслоением реперов r-порядка на М ^п,a G - замкнутой подгруппой eго структурной группы Dn^r.

Важными частными случаями Д.-г. с. являются связности. Напр., связность в главном расслоении получается, если в роли М ⁿ выступает пространство нек-рого главного расслоения ( Р, р, В), а G-структуро на Рявляется такое распределение m-мерных, m=dim P-dimB, подпространств, дополнительных к касательным пространствам слоев, к-рое инвариантно относительно действия в Рструктурной группы расслоения. Связности на многообразии М ^п являются частными случаями Д.-г. с. на М ^п, но более общими, чем G-cтpyктуры на М ^п. Напр., аффинная связность на М ^п, к-рую можно определить полем объекта связности получается как Д.-г. с. на М ^п, при к-рой (X, р, М ⁿ )является главным расслоением реперов 2-го порядка, его структурной группой D²n а пространство Fпредставления группы Dnпространством R³ⁿ с координатами где представление определяется формулами

здесь

координаты элемента группы В случае проективной связности на Mⁿ имеют дело с нек-рым представлением группы Dв пространстве R³⁽ⁿ⁺¹⁾, а в случае связностей высшего порядка с представлениями группы При таком подходе теория Д.-г. с. имеет самый тесный контакт с геометрических объектов теорией.

Лит.:[1] Вагнер В.