Математическая энциклопедия - дифференциалов модуль

модуль Кэлеровых дифференциалов,алгебраический аналог понятия дифференциала функции. Пусть Акоммутативное кольцо, рассматриваемое как алгебра над своим подкольцом В. Д. м. В-алгебры А определяется как фактормодульхW¹A/B. свободного A-модуля с базисом по подмодулю, порожденному элементами вида

где х,,Канонич. гомоморфизм Л-модулей

d: A->W¹A/B является B-дифференцированием кольца А(см. Дифференцирование кольца) со значением в A-модуле W¹A/B, обладающим следующим свойством универсальности: для любого B-дифференцирования д: А->Мсо значением в А-модуле Мсуществует однозначно определенный гомоморфизм А-модулей такой, что Соответствие определяет изоморфизм А-модулей

В частности, модуль дифференцирований кольца Ав себя изоморфен двойственному A-модулю к модулю W¹A/B.

Если рассматривать как A-алгебру относительно гомоморфизма

и I идеал, порожденный элементами вида то A-модуль изоморфен A-модулю I/I².

Д. м. W¹. обладает следующими свойствами: 1) Если Sмультипликативно замкнутое множество в А и то существует канонич. изоморфизм локализации

2) Если j: гомоморфизм B-алгебр, то определена каноническая точная последовательность А'- модулей:

3) Если I идеал кольца Аи A' = AlI, то существует каноническая точная последовательность A'-модулей:

где гомоморфизм d' индуцирован дифференцированием d:

4) Поле Кявляется сепарабельным расширением поля kконечной степени трансцендентности пв том и только в том случае, когда существует изоморфизм K-пространств

5) Если А=В[ Т 1, ..., Т n]алгебра многочленов, то W¹A/B свободный A-модуль с базисом dT1, . .., dTn.

6) Алгебра А конечного типа над совершенным полем кйвляется регулярным кольцом тогда и только тогда, когда A-модуль проективен.

7) В свойстве 2) А-алгебра Л' конечного типа является гладкой над А тогда и только тогда, когда гомоморфизм а инъективен, а Д. м.проективен и его ранг равен относительной размерности А' над A.

Внешняя степень Д. м. наз. модулем дифференциальных i-форм В-алгебры А и обозначаетсяWⁱA/B

Свойство 1) позволяет для любого морфизма схем определить пучок относительных (или кэлеро'вых) дифференциалов и их внешние степени WⁱX/Y.

Лит.:[1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; L2j Grothendieck A., Bevetements etales ct groupe fondamentale, В.-Hdlb.-N. Y., 1971; [3] его же, "Publ. math. IHES", 1964, № 2(1; [4] Kahler E., Algebra und Differentialrechnung, В., 1958.

И. В. Долгачее.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985