Математическая энциклопедия - конические сечения

-линии, к-рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения есть замкнутая овальная кривая эллипс;окружность как частный случай эллипса получается, когда секущаяплоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной нз касательных плоскостей конуса (рис., б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая парабола, целиком лежащая на одной плоскости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в);линия пересечения гиперболасостоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

С точки зрения аналитич. еометрии К. с.действительные нераспадающиеся линии второго порядка.

В тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путем перенесения начала координат в центр) к виду:

Дальнейшие исследования таких (наз. центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к еще более простому виду:

если за направления осей координат выбрать так наз. главные направления направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если Аи Вимеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (*) определяет эллипс; если А и B разного знака, то гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (*) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат единственная ось симметрии параболы, другая перпендикулярная к нон прямая, проходящая через вершину параболы) ее уравнение можно привести к виду:

К. с. были известны уже математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были "Конические сечения" Аполлония Пергского (ок. 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрия; методов: проективного [Ж. Дезарг (G. Desargues), Б. Паскаль (В. Pascal)] и в особенности координатного [Р. Декарт (R. Descartes), П. Ферма (P. Format)].

При надлежащем выборе системы координат (ось абсцисс ось симметрии К. с, ось ординат касательная в вершине К. с.) уравнение К. с. может быть приведено к виду: (р и Xпостоянные). Если р неравно 0, то оно определяет параболу при k=0, эллипс при l<0, гиперболу при l>0. Геометрич. свойство К. с, содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреч. геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово "парабола" (греч. parabole) оаначает приложение (т. к. в греч. геометрии превращение прямоугольника данной площади у ² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р наз. приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово "эллипс" (греч. clleipsis) недостаток (приложение с недостатком); слово "гипербола" (греч. hyperbole) избыток (приложение с избытком).

С переходом к современным методам исследования стереометрич. определение К. с. было заменено планиметрич. определениями этих кривых как множеств точек на плоскости. Так, напр., эллипс определяется как множество точек, для к-рых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение. Можно дать другое планиметрич. определение К. с, охватывающее все три типа этих кривых: К. с.множество точек, для каждой из к-рых отношение ее расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) е. Если при этом е<1, то К. с.эллипс; если е>1, то гипербола; если е=1, то парабола.

Лит.:[1] Александров П. С, Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959.

В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985