Математическая энциклопедия - нормальная сходимость

сходимость ряда

"оставленного из ограниченных отображений множества в нормированное пространство Y, такая, что сходится ряд с положительными членами

составленный из норм отображений

Из Н. с. ряда (1) вытекает абсолютная и равномерная сходимость ряда состоящего из элементов пространства ; обратное заключение неверно. Напр., если есть действительная функция, определяемая равенствами: при и при то ряд сходится абсолютно п равномерно, а ряд расходится.

Пусть, в частности, кусочно непрерывные функции на нек-ром некомпактном интервале и имеет место Н. с. ряда (1), тогда возможно почленное интегрирование на интервале I:

Несобственный интеграл

наз. нормально сходящимся на множестве А, если существует кусочно непрерывная положительная функция такая, что для любого и любого выполняется неравенство и интеграл сходится. Из Н. с. интеграла (2) следует его абсолютная и равномерная сходимость; обратное заключение неверно.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Общая топология, пер. с франц., М., 1975; [2] его же, Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985