Математическая энциклопедия - полная линейная группа

группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K-модуля Vс побразующими.

В исследовании группы GL (n, К).большой интерес представляет вопрос о ее нормальном строении. Центр Zn группы GL(n, К).состоит из скалярных матриц с элементами из центра кольца К. В классич. случае, когда К - поле, решающую роль играет исследование нормального строения специальной линейной группы SL(n, K), состоящей из матриц с определителем 1. А именно, коммутант группы GL(n, К).совпадает с SL(n, К).(кроме случая n=2, | К| -2), и всякая нормальная подгруппа группы GL,(n, К).либо содержится в Zn, либо содержит SL(n, К). В частности, специальная проективная группа

является простой (за исключением случаев п=2,|K|=2,3).

Если К - тело и n>1, то всякая нормальная подгруппа группы GL(n, К).либо содержится в Z п, либо содержит коммутант SL⁺(n, K) группы GL(n, K), причем коммутант SL⁺(n, К).порождается трансвекциями и факторгруппа проста. Кроме того, существует естественный изоморфизм

где К*- мультипликативная группа тела К. Если Кконечномерно над своим центром k, то роль группы SL(n, K) играет группа всех матриц из GL(n, К).с приведенной нормой 1. Группы SL(n, K) и SL⁺(n, К).не всегда совпадают, но если k - глобальное поле, то это так (см. Кнезера Титса гипотеза).

Исследование нормального строения П. л. г. над произвольным кольцом Ксвязано с развитием алгебраической К-теории. Над кольцами Кобщего типа группа GL(n, К).может быть весьма насыщена нормальными подгруппами. Напр., если К - коммутативное кольцо без делителей нуля и с конечным числом образующих, то группа GL(n, К).финитно аппроксимируема, т. е. для каждого ее элемента gсуществует нормальная подгруппа Ng конечного индекса, не содержащая g. В случае К=. задача описания нормальных подгрупп группы GL ( п,) фактически эквивалентна конгруэнц-проблеме для группы SL(n, ), поскольку а всякая нескалярная нормальная подгруппа группы SL(n, ) при n>2 является конгруэнц-подгруппой.

Имеется глубокая аналогия между строением П. л. г. и строением других классич. групп, к-рая простирается далее на простые алгебраические группы и группы Ли.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; 12] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] БассX., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973. В. П. Платонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985