Математическая энциклопедия - полная решетка

, полная структура,частично упорядоченное множество, в к-ром всякое непустое подмножество Аимеет точную верхнюю и точную нижнюю грань, называемые обычно объединением и пересечением элементов подмножества А. и обозначаемые и (или просто А и А). соответственно. Если частично упорядоченное множество имеет наибольший элемент и каждое его непустое подмножество обладает точной нижней гранью, то оно является П. р. Решетка Lтогда и только тогда является полной, когда для любого изотонного отображения j этой решетки в себя существует неподвижная точка, т. е. такой элемент , что аj=a. Если Р(М) - упорядоченное включением множество подмножеств множества Ми j отношение замыкания на Р(М), то совокупность всех ф-замкнутых подмножеств является П. р. Всякое частично упорядоченное множество Рможно изоморфно вложить в П. р., к-рая в этом случае наз. пополнением множества Р. Пополнение сечениями является наименьшим из всех пополнений данного частично упорядоченного множества. П. р. образуют множество всех подалгебр универсальной алгебры, множество всех конгруэнции универсальной алгебры, множество всех замкнутых подмножеств топологич. пространства.

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [2] Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970. Т. С. Фофанова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985