Математическая энциклопедия - полос метод

метод в теории функций комплексного переменного, опирающийся на оценки, связывающие длины нек-рого специального семейства кривых и площадь области, заполняемой этим семейством. В основе П. м. лежат леммы Грётша (см. [1]). Одна из них формулируется следующим образом.

Пусть в прямоугольнике со сторонами длины Аи В имеется конечное число не налегающих друг на друга односвязных областей Sk, k=l, . . ., n, с жордановыми границами, содержащими на сторонах длины Апо отрезку, к-рые не вырождаются в точки (области Sk образуют полосы, идущие от одной стороны длины Ак другой). Если область Sk конформно отображается на прямоугольник со сторонами длины ak и bk так, что упомянутые отрезки переходят в стороны длины а k, то

причем равенство достигается только в том случае, если Sk, k=1, . . ., п,- прямоугольники со сторонами длины а'k и Ви

В качестве другой леммы служит Грётша принцип. Леммы Грётша верны и для бесконечного множества подобластей.

П. м. как метод теории однолистных конформных и квазиконформных отображений был впервые использован X. Грётшем [1], к-рый с помощью этого метода систематически исследовал и решил большое количество экстремальных задач для однолистных функций, заданных в конечносвязных и бесконечносвязных областях (см. [3]; о других применениях П. м. см. [2], гл. 4, §6).

П. м. лежит в основе экстремальной метрики метода.

Лит.:[1] Grotzsch H., "Ber. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-physische. Kl.", 1928, Bd 80, H. 6, S. 36776; H. 7, S. 503-07: 1929, Bd 81, H. 1, S. 38-48; H. 2, S.51-87; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Дженкинс Д ж.. Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962. Е. Г. Голузина.

ПОЛОС МЕТОД метод приближенного решения одномерных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, основанный на специальном способе замены ядра на вырожденное, на получении резольвенты вырожденного уравнения и последующем уточнении приближенного решения с помощью быстросходящегося итеративного алгоритма.

Пусть исходное интегральное уравнение записано в виде

(1)

Для построения вырожденного ядра в П. м. квадрат

разбивается на Nполос

В каждой полосе (i) функция К( х,s) приближается в среднем квадратическом или равномерно функцией вида

В простейшем случае

При помощи функции Ki(x, s).можно образовать вырожденное ядро:

(2)

Решение уравнения с вырожденным ядром (2) аппроксимирует решение (1), вообще говоря, тем лучше, чем больше число полос Nи чем лучше аппроксимация К( х, s).в каждой полосе. Приближенное решение j0 (х).можно еще улучшить с помощью итеративного алгоритма:

(3)

Итерация (3) сходится к решению (1) в среднем квадратическом или равномерно при условии достаточной близости ядер К( х,s) и К N( х,s).

Лит.:[1] Положий Г. Н., Чаленко П. И., "Доповiдi АН УРСР", 1962, JM" 4, о. 427-31.

А. Б. Бакушинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985