Математическая энциклопедия - положительный функционал

на алгебре с инволюцией * линейный функционал f на * алгебре А, удовлетворяющий условию для всех . Важность П. ф. и причина их введения заключается, в частности, в том, что они используются в так наз. ГНС-конструкции одного из основных методов исследования структуры банаховых * алгебр. На ней (и на ее обобщениях, напр. на веса на С*-алгебрах) основано доказательство теоремы абстрактной характеризации равномерно замкнутых * алгебр операторов в гильбертовом пространстве и теоремы о полноте системы неприводимых унитарных представлений локально, компактной группы.

ГНС-конструкция есть способ построения по произвольному П. ф. f на * -алгебре Ас единицей такого * представления pf алгебры Ав гильбертовом пространстве Hf, что f(x)=<pf(x) x, x> для всех , где нек-рый циклич. вектор, к-рый состоит в следующем. В Аопределяется полускалярное произведение <x, y>=f(y*x);соответствующим нейтральным подпространством является левый идеал Nf={xА:f(x*x)=0}, поэтому в предгильбертовом пространстве A/Nf корректно определены операторы левого умножения L а на элементы ;

операторы La непрерывны и продолжаются до непрерывных операторов в пополнении Hf пространства A/Hf. Отображение яу, переводящее в , и есть требуемое, представление, причем в качестве x можно взять образ единицы при суперпозиции канонич. отображений .

Лит.:[1] Гельфанд И. М., Наймарк М. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1948, т. 12, с. 445-80; [2] S еg al I., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 53; [3] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968. В. С. Шульман.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985