Математическая энциклопедия - полугеодезические координаты

геодезические нормальные координаты,координаты х ¹, . . ., х ⁿ в n-мерном римановом пространстве, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие x¹, являются геодезич. линиями, на к-рых х ¹ играет роль нормального параметра, а координатные поверхности x¹=const ортогональны этим геодезическим. В П. к. квадрат линейного элемента имеет вид

П. к. можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки произвольного риманова пространства. В двумерных римановых пространствах в ряде случаев (напр., для регулярных поверхностей строго отрицательной кривизны) возможно введение П. к. в целом. В двумерном случае квадрат линейного элемента в П. к. принято записывать в виде

Полная (гауссова) кривизна может быть найдена по формуле:

При изучении двумерных римановых многообразий знакоопределенной кривизны важную роль играют специальные П. к.геодезические полярные координаты (r,j). В этом случае все координатные геодезич. линии j=const пересекаются в одной точке (полюсе), а j является углом между координатными линиями v=0 и j=const. Линия r=const наз. геодезической окружностью. Квадрат линейного элемента в окрестности полюса в геодезических полярных координатах имеет вид

где К 0 - полная (гауссова) кривизна в точке Р, К 1 - производная от Кпо r в точке Рв направлении геодезической j=0, К 2 такая же производная в направлении геодезической j=p/2.

При определении П. к. в псевдоримановом пространстве часто требуется, чтобы геодезические, соответствующие х ¹, не были изотропными. В этом случае квадрат линейного злемента имеет вид

(знак + или выбирается в зависимости от знака квадрата интервала касательного вектора к линии х ¹).

Д. Д. Соколов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985