Математическая энциклопедия - полугиперболическое пространство

проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности действительного конуса 2-го порядка Q0 индекса l0 с( п-т 0-1)-плоской вершиной Т 0, ( п-т 0-2)-действительного конуса Q1 индекса l1 с ( п-т 1-1)-плоской вершиной Т 1 в (n-m0-1 )-плоскости Т 0,( п-m1-2)-действительного конуса Q2 индекса l2 с (n-m2-1 )-плоской вершиной Т 2 в ( п-m1-1 )-плоскости Т 1 и т. д. до (n-mr_2 -2 )-действительного конуса Qr-1 индекса lr-1 с (n-mr_1-1 )-плоской вершиной Tr-1 и невырожденной действительной ( п-mr-1-2 )-квадрикой Qr индекса lr в плоскости Tr-1

Такое пространство наз. П. и. индексов l0, l1; . . ., 1r и обозначается

В случае, когда конус Q0 является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т 0 (при m0=0), П. п. с несобственной плоскостью Т 0 наз. полуевклидовым пространством:

Расстояние между точками Xи Yопределяется в зависимости от расположения прямой XY относительно плоскостей Т 0, Т 1, . .., Т r-1. Если, в частности, прямая XY не пересекает плоскость Т 0, то расстояние между точками Xи Yопределяется с помощью скалярного произведения аналогично соответствующему определению в квазигиперболическом пространстве. Если же прямая XY пересекает плоскость Т 0, но не пересекает плоскость Т 1 или пересекает плоскость Ta-1 но не пересекает плоскость Т а, то расстояние между точками определяется с помощью, скалярного квадрата разности соответствующих векторов точек Xи Y.

В зависимости от расположения относительно плоскостей Т 0, T1, . . ., Т а, . . . абсолюта различаются четыре типа прямых различных порядков: эллиптические, гиперболические, изотропные и параболические.

Углы между плоскостями в П. п. определяются по аналогии с определением углов между плоскостями в квазигиперболич. пространстве, т. е. с использованием расстояний в двойственном пространстве.

Проективная метрика П. п. является метрикой наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п., напр., является метрика квазигиперболич. пространства. В частности,2-плоскость совпадает с псевдоевклидовой ¹R2, плоскость с копсевдоевклидовой ; 3-пространства и совпадают с квазигиперболическим 3-пространством, 3-пространство с копсевдоевклидовым и т. д.; 3-пространство двойственно псевдогалилееву пространству ¹ Г 3, оно наз. копсевдогалилеевым пространством, его абсолют состоит из пары действительных плоскостей (конус Q0).и точки T1 на прямой Т 0 пересечения этих плоскостей.

Движениями П. п. наз. его коллинеации, переводящие абсолют в себя. При m а=п-mr-а-1-1 и при la = lr-a П. п. двойственно самому себе. В таком пространстве определяются кодвижения, определения к-рых аналогичны определению кодвижения в квазигиперболич. пространстве, двойственном самому себе. Движения, движения и кодвижения образуют группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и кодвижения) П. п. описываются псевдоортогональными операторами индексов, определенных индексами пространства.

П. п. является полуримапивым пространством.

Лит.:[1] Sоmmerville D. M. Y., "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1910, v.28, p. 25-41; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985