Математическая энциклопедия - квазилинейные гиперболические уравнения и системы

уравнения и системы дифференциальных уравнений вида:

где оператор Lхарактерен тем, что в каждой точке существует проходящий через нее вектор z такой, что для произвольного непараллельного к z, вектора hхарактеристическое уравнение

относительно параметра lимеет тk действительных корней (каждый корень считается столько раз, какова его кратность).

Система уравнений (1) рассматривается относительно искомой вектор-функции и(х)с компонентами и 1 (х),... , uk(x)(в случае одного уравнения k=i). Коэффициенты а ^aматрицы, элементы к-рых зависят от независимых пространственных переменных х=( х 0,... , х п), вектор-функции и(х)и ее частных производных до порядка т-1 включительно. От этих же аргументов зависит правая часть f. Если а ^a являются квадратными матрицами порядка, совпадающего с числом компонент вектор-функции и(х), система (1) наз. определенной системой. Характеристическая форма:

определяется по главной части оператора L.

Элементы поверхности, к-рые проходят через нек-рую точку Ри ортогональны векторам z, наз. элементами пространственного типа. Векторы z, проходящие через z, определяют так наз. конус нормалей. Любое направление, выходящее из точки во внешней полости конуса нормалей, наз. направлением временного типа. Кривая, к-рая в каждой точке пространства переменных химеет направление временного типа, наз. кривой временного типа.

Среди задач для К. г. у. и с. центральное место занимает задача Коши задача нахождения решения и(х)системы (1), если на нек-рой гладкой n-мерной гиперповерхности П, определенной уравнением

известны значения вектора-функции и(х)и ее частных производных по какому-нибудь нетангенциальному к П направлению до порядка т-1 включительно. Если такое решение всегда можно найти, то гиперповерхность П наз. свободной относительно оператора L.

Если коэффициенты системы (1) и условия Коши, заданные на аналитической свободной гиперповерхности П, аналитичны, то аналитическое в окрестности П решение единственно; если, помимо этого, условия Коши определяют на П все производные до порядка т-1, то, согласно теореме Коши Ковалевской, в достаточно малой окрестности любой точки поверхности П аналитич. решение отсутствует. Эта теорема применима ко всем аналитич. уравнениям и системам независимо от того, какому типу они принадлежат. При неаналитических же данных теорема не дает ответа о существовании таких решений.

Если никакая часть Гиперповерхности П не свободна, то ее наз. характеристической поверхностью относительно оператора L. Чтобы гиперповерхность П была характеристической относительно оператора L, необходимо и достаточно выполнение условия

где x=(x0, ...,xn)нормаль к поверхности П. Характеристич. матрица, характеристич. форма и характеристич. поверхность инвариантны относительно неособых преобразований. Характеристич. поверхности играют важную роль при исследовании многих задач для уравнений и систем вида (1).

Многие задачи математич. физики сводятся к симметрическим гиперболич. уравнениям и системам. Квазилинейная система 1-го порядка

наз. симметрической, если все матрицы а ⁱ симметричны. Симметрич. система (1') наз. гиперболической симметрической системой в точке Р, если одна из матриц а ⁱ или какая-либо линейная комбинация xⁱ а ⁱ знакоопределенна. Одно уравнение или система уравнений высшего порядка наз. симметрич ее кими гиперболическими, если они эквивалентны какой-нибудь симметрической гиперболич. системе 1-го порядка. Систему (1') при положительно определенном коэффициенте а ⁰ с помощью линейного преобразования можно привести к виду

с симметрич. оператором М. При помощи энергетических неравенств и метода итераций доказывается существование решения задачи Коши для квазилинейных систем 2-го порядка и для одного нелинейного уравнения произвольного порядка.

Так как характеристики и бихарактеристики для гиперболич. уравнений и систем, как линейных, так и квазилинейных, определяются одинаково, известные факты о распределении разрывов младших производных решений линейных уравнений и систем относятся и к случаю квазилинейных уравнений. Распространение разрывов решения и(х)гиперболич. систем рассмотрено для законов сохранения, т. е. для систем 1-го порядка, имеющих следующий вид:

при условии, что поверхность ударной волны является нехарактеристической.

Много работ посвящено исследованию К. г. у. и с. в случае двух пространственных переменных хи t. Важную часть этих исследований составляют квазилинейные системы 1-го порядка, к-рые имеют вид:

где Аи Вквадратные матрицы порядка k, вектор Сзависят от переменных x, tиот вектора и( х,i)= {u1(x, t),... , uk( х, t)}. Если от искомой вектор-функции и( х, t )зависит только правая часть С, (5) наз. почти линейной системой. Почти линейные системы 1-го порядка эквивалентно сводятся к симметрич. системам линейными преобразованиями. Квазилинейная система (5) при предположении имеет следующий вид:

Матрицу Аможно преобразовать к диагональному виду с элементами х i, где векторы ( х i, t) определяют характеристич. направления; эта запись наз. нормальной формой системы (5). Для систем вида (6) справедлива теорема единственности, независимо от того, зависят их характеристики от решения и( х, t )или нет.

Если коэффициенты А, С и начальные значения решения и( х, t )при t=0 имеют первые производные по всем аргументам и эти производные удовлетворяют Липшица условию, то можно указать окрестность отрезка оси (=0, в к-рой существует единственное решение задачи Коши с первыми производными, удовлетворяющими условию Липшица. При этом вводятся вектор-функции v(x, t), к-рые при t=0 совпадают с заданными начальными данными, а их первые производные удовлетворяют условию Липшица. После подстановки v(x, t )в коэффициенты Аи Срешается задача Коши с заданными начальными данными для линейного уравнения. Каждой функции v(x, t )ставится в соответствие решение и( х, t )и решение задачи для системы (6) выводится как неподвижный элемент преобразования и=U[v], или как предел равномерно сходящейся последовательности {un}n-1,2..., полученный в результате итерационного процесса

Аналогичный результат получается при достаточно гладких коэффициентах А, С и начальных данных путем редукции задачи к системе интегральных уравнений, разрешимость к-рой доказывается на основе сжатых отображений принципа.

Квазилинейная система 1-го порядка (5) наз. слабо нелинейной системой, если соответствующая ей нормальная форма

такова, что для каждого элемента а ⁱⁱ диагональной матрицы выполняется условие:

В других случаях (5) наз. сильно нелинейной системой. Если решение слабо нелинейной системы при к=2 ограничено, то задача Коши всегда разрешима в области определенности.

Кроме задачи с начальными данными, для квазилинейных систем 1-го порядка поставлены и исследованы и другие задачи. Напр., так наз. смешанные задачи, заключающиеся в нахождении решения и( х, t )системы (7), к-рое наряду с начальными условиями и( х, 0)=y(x). при t=0, удовлетворяет краевым условиям на нек-рых гладких кривых Г 1 и Г 2, выходящих из точек (a, 0) и (b, 0) соответственно. Эти краевые условия относительно решения и( х, t )могут быть как линейными, так и нелинейными. В нек-рых случаях при соблюдении специальных условий удается проверить корректность постановки задач указанного типа.