Математическая энциклопедия - пересечений теория

на алгебраическом многообразии теория пересечений алгебраич. подмногообразий и циклов. Пусть X - гладкое алгебраич. многообразие размерности пнад полем k, a Yи Z подмногообразия Xкоразмерности i и j соответственно. Если Yи Zпересекаются транс-версально, то является гладким подмногообразием коразмерности i+j, к-рое обозначается В общем случае паре (Y,Z) сопоставляется алгебраический цикл Y^.Z коразмерности i+j;. Идея его определения состоит в том, чтобы заменить Y и Z на эквивалентные в каком-то смысле циклы Y' и Z', находящиеся уже в общем положении, и взять затем пересечение Y' и Z'; конечно, при этом цикл Y'^.Z' также определен с точностью до эквивалентности.

Пусть А ⁱ (Х) - группа классов алгебраич. циклов коразмерности i на Xпо модулю рациональной эквивалентности; .

Теория пересечений Чжоу состоит из построения трех частей:

а) структуры градуированного коммутативного кольца на (X).для каждого гладкого квазипроективного многообразия X;

б) гомоморфизма градуированных колец для каждого морфизма (обратный образ);

в) гомоморфизма групп степени dimY-dimX для каждого собственного морфизма (прямой образ).

При этом структуры а), б), в) связаны рядом соотношений, важнейшими из к-рых являются:

формула проекции: для собственного морфизма и циклов и

редукция к диагонали: если диагональный морфизм, а , то

Кроме того, существует естественный гомоморфизм

что позволяет построить теорию Чжэня классов со значениями в кольце Чжоу, и в частности характер Чжэня

являющийся гомоморфизмом колец.

Проще всего определяется гомоморфизм прямого образа f*. Пусть неприводимое подмногообразие; если dimf(Z)<dimZ,то f* (Z) = 0, если dim f(Z)=dimZ, то f*(Z)=d^.f(Z), где d - степень Z над f(Z). По линейности определение продолжается на циклы и классы циклов. Гомоморфизм обратного образа f* сводится к умножению циклов по формуле

где проекция, а график f. Определение умножения циклов делается в два этапа. Пусть сначала Y и Z неприводимые подмногообразия в X, к-рые пересекаются собственно (т. е. коразмерность равна сумме коразмерностей Y и Z). Каждой компоненте Wпересечения приписывается нек-рое целое положительное число i(Y, Z; W) - локальная кратность пересечения. Есть несколько определений числа i(Y, Z; W), напр. Tor-формула Серра:

где А - локальное кольцо идеалы Y и Z,a l - длина Амодуля. После этого полагают

где Wпробегает неприводимые компоненты

Второй этап лемма Чжоу о сдвиге состоит в утверждении, что для произвольных циклов Y, Z на квазипроективном многообразии Xсуществует цикл Z', рационально эквивалентный Z, к-рый пересекается собственно с Y; более того, класс рациональной эквивалентности не зависит от Z'.

Наиболее интересен случай проективного многообразия X;применяя функтор прямого образа к структурному морфизму , получают отображение степени . По существу, степень цикла это число точек в нульмерной компоненте цикла. Композиция умножения со степенью позволяет численно измерять пересечение. Напр., если Yи Z имеют дополнительные размерности, то получается пересечения индекс (число) Y и Z. Аналогично, получается индекс пересечения пдивизоров :