Математическая энциклопедия - полилинейная форма

n-линейная форма, на унитарном A-модуле Е полилинейное отображение (здесь А - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей). П. ф. наз. также полилинейной функцией ( п-л инейной функцией). Поскольку П. ф.частный случай полилинейных отображений, можно говорить о симметрических, кососимметричееких, знакопеременных, симметризованных и кососимметризованных П. ф. Напp., определитель квадратной матрицы порядка пнад Аэто кососимметризованная (и тем самым знакопеременная) n-линейная форма на А ⁿ, n -линейные формы на Еобразуют А-модуль Ln(E, А), естественно изоморфный модулю всех линейных форм на . В случае n=2 (n=3) говорят о билинейных формах (трилинейных формах).

n-линейные формы на Етесно связаны с праз ковариантными тензорами, т. е. элементами модуля. . Точнее, имеется линейное отображение

такое, что

для любых . Если модуль Есвободен, то g инъективно, а если Ек тому же конечно порожден, то и биективно. В частности, n-линейные формы на конечномерном векторном пространстве над полем отождествляются с праз ковариантными тензорами. Для любых форм определяется их тензорное произведение формулой

Для симметризованных П. ф. определено также симметрич. произведение

а для кососимметризованных П.