Математическая энциклопедия - полилинейное отображение

n-линейное отображение, полилинейный оператор,отображение f прямого произведения унитарных модулей Ei над ассоциативно-коммутативным кольцом Ас единицей в нек-рый A-модуль F, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию

В случае п=2( п = 3).говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. о.

определяет единственное линейное отображение тензорного произведения в Fтакое, что

причем соответствие есть биекция множества П. о. на множество всех линейных отображений П. о. естественным образом

образуют A-модуль.

В А-модуле Ln(E, F).всех n-линейных отображений действует симметрич. группа Sn:

где . П. о. f наз. симметрическим, если sf=f для всех , и кососимметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)=+1 в зависимости от четности подстановки в. П. о. наз. знакопеременным (или альтернированным), если f(x1, . . ., х п)=0, как только xi=xj для нек-рых . Всякое знакопеременное П. о. кососимметрично, а если в Fравнение 2у=0 имеет единственное решение у=0, то верно и обратное. Симметрические П. о. образуют подмодуль в Ln(E, F), естественно изоморфный модулю линейных отображений L(SⁿE, F), где SⁿE есть n-я симметрич. степень Е(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. о.подмодуль, естественно изоморфный L(LⁿE, F), где Lⁿ Е есть га-я внешняя степень модуля Е(см. Внешняя алгебра). П. о. вида наз. симметризованными, а П. о. вида snf= кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) П. о. симметричны (соответственно знакопеременны), а если в Fуравнение n!y=c имеет для каждого единственное решение, то верно и обратное. Для того чтобы всякое знакопеременное П. о. было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль Ебыл свободным.

Лит. см. при ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985