Математическая энциклопедия - положительно определенная функция

комплекснозначная функция j на группе G, удовлетворяющая неравенству

для любых наборов Совокупность П. о. ф. на G образует конус в пространстве М(G).всех ограниченных функций на G, замкнутый относительно операций умножения и комплексного сопряжения.

Причина выделения этого класса функций состоит в том, что именно П. о. ф. определяют положительные функционалы на групповой алгебре и унитарные представления группы G. Точнее, пусть произвольная функция и функционал, заданный равенством

тогда для положительности fj необходимо и достаточно, чтобы j была П. о. ф. Далее, fj определяет *-представление алгебры в гильбертовом пространстве Hj и, следовательно, унитарное представление pj группы G, причем для нек-рого . Обратно, Для любого представления p и любого вектора функция является П. о. ф.

Если Gтопологич. группа, то представление pj слабо непрерывно тогда и только тогда, когда П. о. ф. непрерывна. Если Gлокально компактна, то непрерывные П. о. ф. взаимно однозначно соответствуют положительным функционалам на L¹(G).

Для коммутативных локально компактных групп класс П. о. ф. совпадает с классом преобразований Фурье конечных положительных мер на двойственных группах. Имеется аналог этого утверждения для компактных групп: непрерывная функция j на компактной группе Gявляется П. о. ф. тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье принимает положительные (операторные) значения на каждом элементе двойственного объекта, т, е.

для всякого представления s и всякого вектора

Лит.:[1] Xьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975; [2] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968.

В. С. Шулъман.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985